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《算法竞赛入门经典》6.3节树和二叉树例题6-6（P236）

内容

有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右
编号为1, 2, 3,…, 2D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关，
初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，状态都会改变。当小球到达一个内结点
时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否则往右走，直到走到叶子结点，如图6-2所
示。

树是一颗满二叉树。

直接模拟最后一个球的过程

为啥是这样的啊？

有I个球往下落。
比如I = 9，那么就是有9个球往下落，假设他们的编号为1~9，刚开始开关都闭合，只看第一个根结点处的开关：

开始开关闭合，那球1会往左子树落；然后开关打开，球2往右子树落；开关闭合，球3往左子树落…

所以奇数号的球往左子树落，偶数号的球往右子树落。那只看往左子树落的球：

左落的球编号	1	3	5	7	9
(I+1) / 2	1	2	3	4	5

所以有当I是奇数时，它是往左走的第 ( I + 1 ) / 2 (I+1)/2 (I+1)/2个小球；

再看往右落的球:

右落的球编号	2	4	6	8
I / 2	1	2	3	4

所以有当I是偶数时，它是往右走的第 I / 2 I/2 I/2个小球；

代码描述

举个栗子：
输入4 2（高度为2，有两个球要下落）

直接模拟最后一个球（编号为2，蓝色表示）的下落过程，树总共有D层，很明显，小球只需要下落D-1层就一定到达叶子节点。

设置k表示该球处于树上的结点编号，初始为1（在根结点处）
I表示的是对于所处的树结点来说，第几个经过该结点的球。（初始为I，因为相对于根结点来说，最后一个下落的球是第I个经过根结点的球）

I = 2 I = 2 I=2为偶数，说明它是根结点处第1（ I / 2 = 1 I/2 = 1 I/2=1）个往右子树下落的球，让它下落一层去往右子结点。所处结点更新 k = 2 ∗ k + 1 = 3 ， I / 2 = 1 k = 2*k+1 = 3，I/2 = 1 k=2∗k+1=3，I/2=1
I = 1 I = 1 I=1为奇数，说明它是树结点3这里第1（ ( I + 1 ) / 2 = 1 (I+1)/2 = 1 (I+1)/2=1）个往左子树下落的球，让它下落一层去往左子结点。所处结点更新 k = 2 ∗ k = 6 ， ( I + 1 ) / 2 = 1 k = 2*k = 6，(I+1)/2 = 1 k=2∗k=6，(I+1)/2=1
I = 1 I = 1 I=1为奇数，说明它是树结点6这里第1（ ( I + 1 ) / 2 = 1 (I+1)/2 = 1 (I+1)/2=1）个往左子树下落的球，让它下落一层去往左子结点。所处结点更新 k = 2 ∗ k = 12 ， ( I + 1 ) / 2 = 1 k = 2*k = 12，(I+1)/2 = 1 k=2∗k=12，(I+1)/2=1

得知，该球下落了 D − 1 = 4 − 1 = 3 D-1 = 4-1 = 3 D−1=4−1=3层后所处叶结点的编号为12。

完整程序

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxd = 20;
bool s[1<<maxd];
int main(){//树的高度和将要下落的小球的个数 int d, I;while(scanf("%d%d", &d, &I) == 2){/*1. 模拟所有小球的走向 //n为该树结点的最大编号 int k, n = (1<<d)-1;//初始情况所有开关都为闭合状态 memset(s, 0, sizeof(s));for(int i=0; i<I; i++){//每个小球都从1号结点开始下落 k = 1; while(true){s[k] = !s[k];//更新开关状态，必须先更新，不然下面k值变化了 //因为开关先转状态了，所以规则反了：开启左落,闭合右落k = s[k] ? 2*k : 2*k+1;//落出界了 if(k > n) break;}} *///2. 直接模拟最后一个小球的走向int k = 1;for(int i=0; i<d-1; i++){//每个小球都是严格下落d-1层if(I%2){//I是奇数，说明它是向左下落的第（I+1）/2个小球k = 2*k;//往左落一层I = (I+1)/2; }else{//I是偶数，说明它是向右下落的第I/2个小球 k = 2*k+1;//往右落一层 I = I/2; }} //1. printf("%d\n", k/2);printf("%d\n", k); } return 0;
}

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