Codeforces-1610 C: Keshi Is Throwing a Party

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题目

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样例描述

题目大意

Keshi 正在举行一个Party，他有 nnn 个朋友，第 iii 个朋友有 iii 美元。
但这些朋友既仇富又仇贫，如果有超过 aia_iai 个比他富有的人或者超过 bib_ibi 个比他穷的人参加Party，他就会不开心。Keshi想让他Party上的每个朋友都开心，问他最多能邀请多少人。

题目解析

首先我们检查可行人数是否是单调的，i.e. 是否随着人数的增加而越来越不可能。直观上确实是这样，因为假设我们有了一个合法的邀请人序列，不论我们移除掉序列中的哪个，都不会有人会变得不开心，因为只有比他富有的人多了，或者穷的人多了，才可能增加不开心的人数。如此一来，合法序列的长度一定是单调的，即，给定一个序列长度，若存在一序列合法，则会有比它短的序列也合法，若不合法，则比它长的序列也不合法。如此，我们可以二分这个序列的长度，之后检测其是否合法。
那么如何检测给定序列长度是否存在一个合法的序列呢。我们可以每次都选择最穷的，可加入的朋友加入到序列中（注意可加入的判断与序列长度有关），来看长度是否能够达到给定长度。不妨假设序列长度为 ttt，设一合法序列为 s=s1s2⋯st(t>n)s=s_1s_2\cdots s_t (t \gt n)s=s1s2⋯st(t>n)，最小的序列为 p=p1p2⋯pnp=p_1p_2\cdots p_np=p1p2⋯pn，即假设最小序列达不到指定序列长度，但存在一个序列能达到。根据假设，有 pi≤sip_i \le s_ipi≤si。若 ppp 与 s1⋯ss_{1\cdots s}s1⋯s 全等，则根据选择方式，显然 ppp 的长度不应是 nnn，因为 ppp 至少应能再扩展一位，矛盾。但若 ppp 与 sss 不全等，意味着存在 pi>sip_i \gt s_ipi>si，也矛盾。所以在给定选择序列的长度后，不存在一个序列比最小序列更长。这样我们遍历一遍便可以检查出序列长度是否合法。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 2e5 + 7;
int a[maxn], b[maxn];bool check(const int& x, const int& n) {int cnt = 0;for(int i=0; i<n; ++i)if (x-1-a[i] <= cnt && cnt <= b[i]) ++cnt;return cnt >= x;
}int main(){int t, n;cin >> t;while(t--) {cin >> n;for(int i=0; i<n; ++i) cin >> a[i] >> b[i];int l = 0, r = n + 1, mid;while(r - l > 1) {mid = (l + r) >> 1;if(check(mid, n)) l = mid;else r = mid;}cout << l << endl;}return 0;
}