【现控】时不变连续系统

【现控】2.1 时不变连续系统

一、齐次方程的解

齐次状态方程指输入为0的状态方程，即
x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot{x}\left( t \right) =Ax\left( t \right) x˙(t)=Ax(t)

它反映了系统自由运动状况（即没有输入作用的状况）。对于齐次状态方程求解通常有一下三种解法。

1、无穷级数法
无穷级数法就是假设方程的解是个系数待定的无穷级数，然后将该无穷级数代入微分方程估算待定系数。假设方程的解为：
x ( t ) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ + b k t k + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ b k t k , t ≥ 0 x\left( t \right) =b_0+b_1t+b_2t^2+\cdots +b_kt^k+\cdots =\sum_{k=0}^{\infty}{b_kt^k},\ t\ge 0 x(t)=b0+b1t+b2t2+⋯+bktk+⋯=k=0∑∞bktk, t≥0

将解代入微分方程：
b 1 + 2 b 2 t + 3 b 3 t 2 + ⋯ + k b k t k − 1 + ⋯ = A ( b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ + b k t k + ⋯ ) b_1+2b_2t+3b_3t^2+\cdots +kb_kt^{k-1}+\cdots = A\left( b_0+b_1t+b_2t^2+\cdots +b_kt^k+\cdots \right) b1+2b2t+3b3t2+⋯+kbktk−1+⋯=A(b0+b1t+b2t2+⋯+bktk+⋯)

对比上式各项系数可得：
b 1 = A b 0 , b_1=Ab_0, b1=Ab0, b 2 = 1 2 A b 1 = 1 2 A 2 b 0 , b_2=\frac{1}{2}Ab_1=\frac{1}{2}A^2b_0, b2=21Ab1=21A2b0, b 3 = 1 3 A b 2 = 1 3 ! A 3 b 0 , b_3=\frac{1}{3}Ab_2=\frac{1}{3!}A^3b_0, b3=31Ab2=3!1A3b0, ⋯ \cdots ⋯ b k = 1 k ! A k b 0 , ⋯ b_k=\frac{1}{k!}A^kb_0,\ \cdots bk=k!1Akb0, ⋯
因此齐次解可以表示为：

x ( t ) = b 0 + A b 0 t + 1 2 ! A 2 b 0 t 2 + ⋯ + 1 k ! A k b 0 t k + ⋯ x\left( t \right) =b_0+Ab_0t+\frac{1}{2!}A^2b_0t^2+\cdots +\frac{1}{k!}A^kb_0t^k+\cdots x(t)=b0+Ab0t+2!1A2b0t2+⋯+k!1Akb0tk+⋯ = ( E n + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + ⋯ + 1 k ! A k t k + ⋯ ) b 0 \ \ \ \ =\left( E_n+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+\cdots +\frac{1}{k!}A^kt^k+\cdots \right) b_0\ =(En+At+2!1A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯)b0 = e A t b 0 = e A t x 0 其中 , b 0 = x ( t ) ∣ t = 0 = x 0 \ \ \ \ =e^{At}b_0=e^{At}x_0 \ \ \ \ \ \ \ 其中, \ \ b_0=x\left( t \right) |_{t=0}=x_0 =eAtb0=eAtx0 其中, b0=x(t)∣t=0=x0
称 e A t e^{At} eAt为状态转移矩阵，解的结果表明了系统状态 x ( t ) x(t) x(t)是由 x 0 x_0 x0通过 e A t e^{At} eAt转移而来。 e A t e^{At} eAt也因此而得名，记为 Φ ( t ) \varPhi \left( t \right) Φ(t)。

状态转移矩阵具有如下性质：
1 、 Φ ( 0 ) = E 2 、 Φ ( t ) = A Φ ( t ) = Φ ( t ) A 3 、 Φ ( t 1 ± t 2 ) = Φ ( t 1 ) Φ ( ± t 2 ) = Φ ( ± t 2 ) Φ ( t 1 ) 4 、 Φ − 1 ( t ) = Φ ( − t ) 5 、 x ( t 2 ) = Φ ( t 2 − t 1 ) x ( t 1 ) 6 、 Φ ( t 2 − t 1 ) Φ ( t 1 − t 0 ) = Φ ( t 2 − t 0 ) 7 、 [ Φ ( t ) ] k = Φ ( k t ) 8 、若 A B = B A ，则 e ( A + B ) t = e A t e B t = e B t e A t \begin{aligned} &1\text{、}\varPhi \left( 0 \right) =E \\ &2\text{、}\varPhi \left( t \right) =A\varPhi \left( t \right) =\varPhi \left( t \right) A \\ &3\text{、}\varPhi \left( t_1\pm t_2 \right) =\varPhi \left( t_1 \right) \varPhi \left( \pm t_2 \right) =\varPhi \left( \pm t_2 \right) \varPhi \left( t_1 \right) \\ &4\text{、}\varPhi ^{-1}\left( t \right) =\varPhi \left( -t \right) \\ &5\text{、}x\left( t_2 \right) =\varPhi \left( t_2-t_1 \right) x\left( t_1 \right) \\ &6\text{、}\varPhi \left( t_2-t_1 \right) \varPhi \left( t_1-t_0 \right) =\varPhi \left( t_2-t_0 \right) \\ &7\text{、}\left[ \varPhi \left( t \right) \right] ^k=\varPhi \left( kt \right) \\ &8\text{、若}AB=BA\text{，则}e^{\left( A+B \right) t}=e^{At}e^{Bt}=e^{Bt}e^{At} \end{aligned} 1、Φ(0)=E2、Φ(t)=AΦ(t)=Φ(t)A3、Φ(t1±t2)=Φ(t1)Φ(±t2)=Φ(±t2)Φ(t1)4、Φ−1(t)=Φ(−t)5、x(t2)=Φ(t2−t1)x(t1)6、Φ(t2−t1)Φ(t1−t0)=Φ(t2−t0)7、[Φ(t)]k=Φ(kt)8、若AB=BA，则e(A+B)t=eAteBt=eBteAt

2、拉普拉斯变换法
根据无穷级数法可知，求解齐次解实际上就是找到求解状态转移矩阵 e A t e^{At} eAt，拉普拉斯提供了一种可行的方式。
对式 x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot{x}\left( t \right) =Ax\left( t \right) x˙(t)=Ax(t)两端取拉普拉斯变换，可得：
s X ( s ) − x ( 0 ) = A X ( s ) sX\left( s \right) -x\left( 0 \right) =AX\left( s \right) sX(s)−x(0)=AX(s) X ( s ) = ( s E − A ) − 1 x ( 0 ) X\left( s \right) =\left( sE-A \right) ^{-1}x\left( 0 \right) X(s)=(sE−A)−1x(0)
进一步取拉氏反变换得：

x ( t ) = L − 1 [ ( s E − A ) − 1 ] ⋅ x ( 0 ) x\left( t \right) =L^{-1}\left[ \left( sE-A \right) ^{-1} \right] ·x\left( 0 \right) x(t)=L−1[(sE−A)−1]⋅x(0) Φ ( t ) = e A t = L − 1 [ ( s E − A ) − 1 ] \varPhi \left( t \right) =e^{At}=L^{-1}\left[ \left( sE-A \right) ^{-1} \right] Φ(t)=eAt=L−1[(sE−A)−1]
这就是拉普拉斯变化法求解的过程。

3、凯莱-哈密顿定理法

该定理是利用了系统矩阵A满足自身特征方程的特点，根据递推式推出 A n A^n An, 并将 A n A^n An代入 e A t e^{At} eAt的级数展开式，从而达到估算出 e A t e^{At} eAt的目的。
设n阶矩阵A的特征多项式为：
f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 f\left( \lambda \right) =|\lambda E-A|=\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0 f(λ)=∣λE−A∣=λn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0

则有矩阵A满足它的特征方程，即
f ( A ) = A n + a n − 1 A n − 1 + ⋯ + a 1 A + a 0 E = 0 f\left( A \right) =A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0E=0 f(A)=An+an−1An−1+⋯+a1A+a0E=0 A n = − a n − 1 A n − 1 − a n − 2 A n − 2 − ⋯ − a 1 A − a 0 E A^n=-a_{n-1}A^{n-1}-a_{n-2}A^{n-2}-\cdots -a_1A-a_0E An=−an−1An−1−an−2An−2−⋯−a1A−a0E
A n A^n An是 A n − 1 , A n − 2 , . . . , A , E A^{n-1},A^{n-2},..., A, E An−1,An−2,...,A,E的线性组合。由此类推 A n + 1 , A n + 2 , . . . A^{n+1},A^{n+2},... An+1,An+2,...

消去A的n以及n以上的幂次项，从而有：
e A t = E n + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + ⋯ + 1 k ! A n t n + ⋯ e^{At}=E_n+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+\cdots +\frac{1}{k!}A^nt^n+\cdots eAt=En+At+2!1A2t2+⋯+k!1Antn+⋯ = α n − 1 ( t ) A n − 1 + α n − 2 ( t ) A n − 2 + ⋯ + α 1 ( t ) A + α 0 ( t ) E \ \ =\alpha _{n-1}\left( t \right) A^{n-1}+\alpha _{n-2}\left( t \right) A^{n-2}+\cdots +\alpha _1\left( t \right) A+\alpha _0\left( t \right) E\ =αn−1(t)An−1+αn−2(t)An−2+⋯+α1(t)A+α0(t)E

二、非齐次方程的解

非齐次状态方程描述了线性定常系统在控制作用下的运动，即
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) \dot{x}\left( t \right) =Ax\left( t \right) +Bu\left( t \right) x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)

1、积分法
积分法主要是根据非齐次方程构建 e − A t x ( t ) e^{-At}x(t) e−Atx(t)的导数，并对其进行积分，从而得到 x ( t ) x(t) x(t)的表达式。
对非齐次方程做如下变换：
e − A t ( x ˙ − A x ) = e − A t B u e^{-At}\left( \dot{x}-Ax \right) =e^{-At}Bu e−At(x˙−Ax)=e−AtBu
由于
d d t [ e − A t x ] = e − A t x ˙ + e − A t ( − A ) x = e − A t ( x ˙ − A x ) \frac{d}{dt}\left[ e^{-At}x \right] =e^{-At}\dot{x}+e^{-At}\left( -A \right) x=e^{-At}\left( \dot{x}-Ax \right) dtd[e−Atx]=e−Atx˙+e−At(−A)x=e−At(x˙−Ax)
于是有
d d t [ e − A t x ] = e − A t B u \frac{d}{dt}\left[ e^{-At}x \right] =e^{-At}Bu dtd[e−Atx]=e−AtBu
对上式两端积分，当 t 0 = 0 时 t_0=0时 t0=0时，解的形式为：
x ( t ) = e A t x ( 0 ) + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ x\left( t \right) =e^{At}x\left( 0 \right) +\int_0^t{e^{A\left( t-\tau \right)}Bu\left( \tau \right)}d\tau x(t)=eAtx(0)+∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ = Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t Φ ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \ \ \ \ =\varPhi \left( t \right) x\left( 0 \right) +\int_0^t{\varPhi \left( t-\tau \right) Bu\left( \tau \right)}d\tau =Φ(t)x(0)+∫0tΦ(t−τ)Bu(τ)dτ

当 t 0 ≠ 0 时 t_0≠0时 t0=0时，解的形式为：
x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ x\left( t \right) =e^{A\left( t-t_0 \right)}x\left( t_0 \right) +\int_{t_0}^t{e^{A\left( t-\tau \right)}Bu\left( \tau \right)}d\tau x(t)=eA(t−t0)x(t0)+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτ = Φ ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t Φ ( t − τ ) B u ( τ ) d τ \ \ \ \ =\varPhi \left( t-t_0 \right) x\left( t_0 \right) +\int_{t_0}^t{\varPhi \left( t-\tau \right) Bu\left( \tau \right)}d\tau =Φ(t−t0)x(t0)+∫t0tΦ(t−τ)Bu(τ)dτ

解的结构中包含两项，第一项表示状态转移项，是系统对初始状态的响应，即零输入响应。第二项是系统对输入作用的响应，即零状态响应。

2、拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法的思路是先通过拉普拉斯变换将微分方程转变为复域方程，然后将微分算子s分离出来，最后再通过拉普拉斯反变换即可求出 x ( t ) x(t) x(t)。
对非齐次微分方程两边取拉普拉斯变换得：
s X ( s ) − x ( 0 ) = A X ( s ) + B u ( s ) sX\left( s \right) -x\left( 0 \right) =AX\left( s \right) +Bu\left( s \right) sX(s)−x(0)=AX(s)+Bu(s) ( s E − A ) X ( s ) = x ( 0 ) + B u ( s ) \left( sE-A \right) X\left( s \right) =x\left( 0 \right) +Bu\left( s \right) (sE−A)X(s)=x(0)+Bu(s)
因此，对上式再取拉普拉斯反变换可得：
x ( t ) = L − 1 [ ( s E − A ) − 1 ] x ( 0 ) + L − 1 [ ( s E − A ) − 1 B u ( s ) ] x\left( t \right) =L^{-1}\left[ \left( sE-A \right) ^{-1} \right] x\left( 0 \right) +L^{-1}\left[ \left( sE-A \right) ^{-1}Bu\left( s \right) \right] x(t)=L−1[(sE−A)−1]x(0)+L−1[(sE−A)−1Bu(s)]

三、状态矢量的线性变换

对系统状态空间模型进行非奇异线性变换，便于揭示系统特性及分析和综合设计。由于非奇异线性变换是等价变换，因此它不会改变系统的固有性质（传递函数矩阵、特征值等）。

1、化A为对角阵
（1）设A矩阵为任意方阵，且有n个互不相同的实数特征根 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda _1,\ \lambda _2,\ \cdots ,\ \lambda _n λ1, λ2, ⋯, λn，则可以由非奇异变换将其化为对角阵 Λ \varLambda Λ，即
Λ = P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] \varLambda =P^{-1}AP=\left[ \begin{matrix} \lambda _1& 0& \cdots& 0\\ 0& \lambda _2& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 0& 0& \cdots& \lambda _n\\ \end{matrix} \right] Λ=P−1AP=⎣⎢⎢⎢⎡λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎦⎥⎥⎥⎤
式中，P由特征矢量 p i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) p_i(i=1,2,...,n) pi(i=1,2,...,n)组成，，即
P = [ p 1 p 2 ⋯ p n ] P=\left[ \begin{matrix} p_1& p_2& \cdots& p_n\\ \end{matrix} \right] P=[p1p2⋯pn]
各特征矢量满足 A p i = λ i p i Ap_i=\lambda_ip_i Api=λipi

（2）设A矩阵为友矩阵（能控规范形的系统矩阵），且有n个互不相同的实数特征根 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda _1,\ \lambda _2,\ \cdots ,\ \lambda _n λ1, λ2, ⋯, λn则可用范德蒙矩阵P对A矩阵进行对角化（不证明，直接用结论）：
P = [ l 1 1 ⋯ 1 λ 1 λ 2 ⋯ λ n λ 1 2 λ 2 2 ⋯ λ n 2 ⋮ ⋮ ⋮ λ 1 n − 1 λ 2 n − 1 ⋯ λ n n − 1 ] P=\left[ \begin{matrix}{l} 1& 1& \cdots& 1\\ \lambda _1& \lambda _2& \cdots& \lambda _n\\ \lambda _{1}^{2}& \lambda _{2}^{2}& \cdots& \lambda _{n}^{2}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ \lambda _{1}^{n-1}& \lambda _{2}^{n-1}& \cdots& \lambda _{n}^{n-1}\\ \end{matrix} \right] P=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡l1λ1λ12⋮λ1n−11λ2λ22⋮λ2n−1⋯⋯⋯⋯1λnλn2⋮λnn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
（3）设A矩阵为任意方阵，且有m个相同的特征根 ( λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ m ) (\lambda _1= \lambda _2=\cdots=\lambda _m) (λ1=λ2=⋯=λm)，其余n-m个特征根为互异实数特征根，但使用 A p i = λ i p i Ap_i=\lambda_ip_i Api=λipi求解特征向量时，有m个独立的特征矢量 p 1 , p 2 , . . . , p m p_1,p_2,...,p_m p1,p2,...,pm, 则仍然可以将A矩阵对角化为对角阵 Λ \varLambda Λ，即
Λ = P − 1 A P = [ λ 1 ⋱ λ 1 λ m + 1 ⋱ λ n ] \varLambda =P^{-1}AP=\left[ \begin{matrix}{} \lambda _1& & & & & \\ & \ddots& & & & \\ & & \lambda _1& & & \\ & & & \lambda _{m+1}& & \\ & & & & \ddots& \\ & & & & & \lambda _n\\ \end{matrix} \right] Λ=P−1AP=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡λ1⋱λ1λm+1⋱λn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ P = [ p 1 p 2 p m p m + 1 ⋯ p n ] P=\left[ \begin{matrix}{} p_1& p_2& p_m& p_{m+1}& \cdots& p_n\\ \end{matrix} \right] P=[p1p2pmpm+1⋯pn]

2、化A为约旦阵

设A矩阵有m个相同的特征根 ( λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ m ) (\lambda _1= \lambda _2=\cdots=\lambda _m) (λ1=λ2=⋯=λm)，其余n-m个特征根为互异实数特征根，但使用 A p i = λ i p i Ap_i=\lambda_ip_i Api=λipi求解特征向量时，重根只有一个独立的特征矢量 p 1 p_1 p1, 则只能将A阵化为约旦阵 J J J, 即
J = P − 1 A P = [ λ 1 1 ⋱ 1 λ 1 λ m + 1 ⋱ λ n ] J=P^{-1}AP=\left[ \begin{matrix}{} \lambda _1& 1& & & & \\ & \ddots& 1& & & \\ & & \lambda _1& & & \\ & & & \lambda _{m+1}& & \\ & & & & \ddots& \\ & & & & & \lambda _n\\ \end{matrix} \right] J=P−1AP=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡λ11⋱1λ1λm+1⋱λn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
P = [ p 1 p 2 p m ⋮ p m + 1 ⋯ p n ] P=\left[ \begin{matrix}{} p_1& p_2& p_m& \vdots& p_{m+1}& \cdots& p_n\\ \end{matrix} \right] P=[p1p2pm⋮pm+1⋯pn]
式中 p 1 , p m + 1 , p m + 2 , . . . , p n p_1,p_{m+1},p_{m+2},...,p_{n} p1,pm+1,pm+2,...,pn分别是互异实数特征根 λ 1 , λ m + 1 , λ m + 2 ⋯ , λ n \lambda _1,\ \lambda _{m+1},\lambda _{m+2} \ \cdots ,\ \lambda _n λ1, λm+1,λm+2 ⋯, λn对应的特征矢量。而 p 2 , p 3 , , . . . , p m p_2,p_{3},,...,p_{m} p2,p3,,...,pm是广义特征矢量，它们满足：
[ p 1 p 2 ⋯ p m ] [ λ 1 1 0 λ 1 ⋱ ⋱ 1 λ 1 ] = A [ p 1 p 2 ⋯ p m ] \left[ \begin{matrix} p_1& p_2& \cdots& p_m\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda _1& 1& & \\ 0& \lambda _1& \ddots& \\ & & \ddots& 1\\ & & & \lambda _1\\ \end{matrix} \right] =A\left[ \begin{matrix}{} p_1& p_2& \cdots& p_m\\ \end{matrix} \right] [p1p2⋯pm]⎣⎢⎢⎡λ101λ1⋱⋱1λ1⎦⎥⎥⎤=A[p1p2⋯pm]
即
{ λ 1 p 1 − A p 1 = 0 λ 1 p 2 − A p 2 = − p 1 ⋮ λ 1 p m − A p m = − p m − 1 \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1p_1-Ap_1=0\\ \lambda _1p_2-Ap_2=-p_1\\ \vdots\\ \lambda _1p_m-Ap_m=-p_{m-1}\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧λ1p1−Ap1=0λ1p2−Ap2=−p1⋮λ1pm−Apm=−pm−1