深入理解计算机系统(2.5)---二进制整数的加、减法运算(重要)
2.3我们介绍了无符号编码和补码编码,本次我们来看一下在这两种编码下,整数的运算是如何进行的。看后之余,别忘了“点个推荐哦。”
引言
平时的编程过程中,当进行整数运算时,经常会遇到一些奇怪的结果,比如两个正数加出负数,两个负数可以加出一个正数,这些都是由于数值表示的有限性导致的。下面我们来看看C语言和Java语言当中的例子。
public static void main(String[] args) { int a = 0x7FFFFFFF; int b = 0x7FFFFFFF; System.out.println(a); System.out.println(b); System.out.println( a + b ); }
程序当中的a和b都是很大的正整数,结果它们相加会得到一个负数。
接下来我们再来看看C语言当中的例子,它也会具有同样的特性。
#include <stdio.h> int main(){ int a = 0x7FFFFFFF; int b = 0x7FFFFFFF; printf("%d\n",a); printf("%d\n",b); printf("%d\n",a+b); }
我们来看看这个程序的结果,是否与Java一致。
可以看到,在C于Java当中,结果都是一样的,所以我们有必要对二进制整数的运算做一些简单的了解。
无符号加法
这里LZ不想按照书中的方式去介绍,我们换一种思路,来简单的了解一下吧。
小时候学习加法时,我们都是使用的画表式,就是上面是被加数,下面是加数,然后左边写一个加号,逢10就进1,然后下面画一条横线,横线下面就是我们的结果。
对于我们的二进制整数来说,其实也可以使用这种最原始的方式去计算,由此也可以认识到,二进制整数的加法也是非常简单的。只不过它与我们平时的十进制算法有一个最大的区别,那就是我们在计算机当中进行计算时,结果的位数都是有限制的。因此在我们计算过后,可能需要对结果进行截断操作。
前面一章我们已经讲过有关截断的内容,那么很明显这里就可以用上了。这里使用的时候有一个前提,我们可以假设是进行w位的二进制运算,那么在运算之后的实际结果也一定是w位的。这里有两种情况,一种是结果依然是w位的,也就是w+1位为0。第二种则是达到了w+1位,这个时候我们需要将结果截断到w位。
第一种情况则属于正常的加法运算,对于第二种来说,我们根据上一章的结论可以得到,假设完整的结果为sum,则实际的结果最终为 sum mod 2w。
在书中则是给出了一个公式,它得到这个结果的一个前提是两个操作数都满足小于2w,它与我们上面取模的结果其实是一样的。
这里LZ再稍微解释一下,对于第一种情况,x+y < 2w,则sum mod 2w是与sum一致的。对于第二种来说,当 2w =< x+y < 2w+1,对 x + y 进行2w的取模运算,与 x + y - 2w是等价的。
无符号的非
无符号的加法会形成一个阿贝尔群,这意味着无符号加法满足一些特性。比如可交换,可结合等等。在这个群中,单位元为0,那么每一个群中的元素,也就是每一个无符号数u,都会拥有一个逆元u-1,满足 u+ u-1 = 0。这个结论的来源是,对于w位上的无符号运算来讲,倘若两个无符号数的加法运算结果为2w,也就是1后面跟w个0,此时截断之后的结果则为0。
从以上的简单分析,我们可以很容易的得到一个无符号数的逆元满足以下公式(公式中的左边就是LZ写的u-1,由于图中的符号在博文中不好编辑,所以LZ以u-1替代)。
补码加法
对于补码的加法来讲,我们会建立在无符号加法的基础上来进行,这么做的一个重要前提是,它们的位表示都是一样的。
这里书上写的比较复杂,LZ这里稍微介绍的简单一点,其实补码加法就是先按照无符号加法进行运算,而后在进行无符号和有符号的转换。因此我们根据上面的结论可以得到,对于两个补码编码的有符号数来说,他们进行加法运算的最终结果为,假设实际的无符号结果为sum,那么最终的实际结果为 U2Tw(sum mod 2w)。
上面的这个结果看起来很简单,但实际上它的运算结果还是比较复杂的,书中给出了四种情况的分析,采用数学推导和证明的方式来说明,估计对一部分数学基础较差的猿友来讲,这是一种折磨,因此LZ这里将会省去这部分分析,如果有兴趣的猿友可以私底下看一下书中的原版内容。
与无符号加法不同的是,这里会出现三种结果,一种是正常的结果,一种是正溢出,一种是负溢出。
对于当正溢出的时候,我们的结果与无符号数类似,取模之后等价于减去2w。而当负溢出的时候,则刚好相反,取模之后的结果等价于加上2w。更直观的,由于我们最终可表示的补码数范围在-2w-1(包含)到2w-1之间,所以我们总是要试图将最终的实际结果保持在这个范围之内。于是我们可以直观的得到下面的结果。
补码的非
对于补码来说,它同样的与无符号有一样的特性,也就是对于任意一个w位的补码数t来说,它都有唯一的逆元t-1,使得t + t-1 = 0。
一个w位的补码数的范围在-2w-1(包含)到2w-1之间,直观的可以看出,对于不等于-2w-1的补码数x来说,它的逆元就是-x。而对于-2w-1来说,它的二进制位表示为1后面跟着w-1个0,我们需要找到一个数与其相加之后结果为0。
这种时候我们需要考虑的是,如果是-x,也就是2w-1,则它的位表示需要w+1位,是不存在的。因此我们需要考虑溢出的情况,对照上面的公式2.14,负溢出的时候需要加上2w,因此-2w-1的逆元就是-2w + 2w-1 = -2w-1,也就是它本身。
综合上面的情况,最终我们可以得到补码的逆元满足以下公式(这里与上面一样,公式左边是LZ所说的逆元t-1)。
二进制整数的减法
这一部分内容在书中没有介绍,而且书中也没有提及为什么没有介绍,因此LZ在这里简单的提上几句。
减法运算其实是可以由加法运算替代的,我们上面已经介绍过了无符号和补码的非,其实很多CPU是没有减法运算器的,它们都是将减数进行逆运算以后送入加法器,然后进行加法运算,这样得出来的结果就是减法运算最终的结果。
比如我们考虑一种简单的情况,当w = 4时的无符号减法运算,对于 5 - 4这个减法运算来说,我们可以由 5 + 4-1(其中4-1是4的逆元的意思,不是1/4的意思)来替代这个减法运算。
为了更加直观,LZ带各位来算一下,首先4的逆元根据上面的公式可以得到为 4-1 = 24 - 4 = 12 。那么我们现在需要对5和12进行加法运算,它们的位表示分别为 0101和1100,结果为10001,也就是十进制17的位表示。不过由于我们的w = 4,因此截断之后结果为0001,也就是十进制的1。最终可以得到 5 - 4 = 1。
对于5 - 4来说,是考虑的结果为正的情况。或许有的猿友会对结果为负或者说是无符号数溢出的情况下有疑问,因此LZ这里对这种情况也做一个简单的介绍。我们考虑一个简单的计算 0 - 1,我们可以得到1-1 = 24 - 1 = 15。此时对0和15进行加法运算,他们的位表示分别为0000和1111,结果为1111。
看到这里估计有的猿友会奇怪了,这怎么回事,0 - 1 = 15?
当然不是,这个结果其实是正确的。考虑使用补码编码来解析1111这个位表示,它代表的值就是-1。15是1111这个位表示在无符号编码情况下的解析结果。
因此LZ这里也给出一个公式,就是对于两个整数x和y来说,x - y = x + y-1。这里需要特别说明的是,这个公式代表的意义是位表示,而不是实际的数值。
文章小结
本次我们主要介绍了二进制整数的加法运算,除此之外LZ还多加了一部分,就是减法的简单介绍。下一章我们将继续讲解整数的乘除法运算。
深入理解计算机系统(2.5)---二进制整数的加、减法运算(重要)相关推荐
- 计算机应用乘法,计算机系统原理(十) 二进制整数的乘法运算和除法运算
2.5我们着重介绍了二进制整数的加.减运算,本次我们继续介绍乘.除运算.本章是迄今为止最难的一章,希望各位猿友有所收获,也别忘了"点个推荐哦". 引言 运算一直是程序运行当中一个重 ...
- 深入理解计算机系统(2.4)---C语言的有符号与无符号、二进制整数的扩展与截断...
开篇请各位猿友允许LZ啰嗦几句,最近一直在写计算机系统原理这系列文章,也已经下定决心要把这本书的内容写完.主要目的其实是为了巩固LZ的理解,另外也想把这些内容分享给猿友们,毕竟LZ觉得这些内容对程序猿 ...
- c语言无符号扩展,深入理解计算机系统(2.4)---C语言的有符号与无符号、二进制整数的扩展与截断...
开篇请各位猿友允许LZ啰嗦几句,最近一直在写计算机系统原理这系列文章,也已经下定决心要把这本书的内容写完.主要目的其实是为了巩固LZ的理解,另外也想把这些内容分享给猿友们,毕竟LZ觉得这些内容对程序猿 ...
- 深入理解计算机系统(2.6)------整数的运算
前面两篇博客我们详细讲解了计算机中整数的表示,包括有符号和无符号(补码编码)的详细介绍.那么这篇博客我们将对它们的运算有个详细的了解. 在讲解之前首先看下面的一个程序,看看输出结果是啥? 1 2 3 ...
- 计算机进行加法运算的原理,计算机系统原理(九) 二进制整数的加法运算和减法运算...
引言 平时的编程过程中,当进行整数运算时,经常会遇到一些奇怪的结果,比如两个正数加出负数,两个负数可以加出一个正数,这些都是由于数值表示的有限性导致的.下面我们来看看C语言和Java语言当中的例子. ...
- 深入理解计算机系统(3)
深入理解计算机系统(3) 本文我们主要讲关于数据的的表示方式:原码,反码和补码. 本文在写作过程中,参考了园中的这篇文章<原码,反码,补码详解>,特此声明. 一原码 计算机中是使用二进制来 ...
- 《深入理解计算机系统-程序结构》读书笔记
1.计算机系统漫游 计算机系统是由硬件和系统软件组成的,他们共同工作来运行应用程序.在<深入理解计算机系统>一书中将会学到很多实践的技巧.例如:了解编译器是如何实现过程调用的.避免缓冲区溢 ...
- 2020-11-16(深入理解计算机系统2.4节选)
最近迷上了深入理解计算机系统这本书,看了有无符号数转换,卡了一个点,然后水了一下博客,发现这篇挺好的博客,讲解挺详细,希望有兴趣的能多花时间阅读,本篇博客主要讲解了有符号数和无符号数之间的转换: 1. ...
- 深入理解计算机系统(2.7)------浮点数舍入以及运算
上一篇博客我们讲解了二进制小数如何表示以及IEEE浮点标准.而且我们也提到过因为这种表示方法限制了浮点数的范围和精度,浮点数只能近似的表示一个数. 比如 数字1/5,我们能用十进制小数 0.2 准确的 ...
最新文章
- CentOS 6.7快速搭建lamp环境
- phalcon遇到的那些坑
- 为什么你不该用Timer
- DBMS_SPACE包的使用
- matlab 与dsp联合仿真,matlab和DSP联合开发前景很大?
- day07-vue项目-搭建项目到登录功能
- Tomcat实战-调优方案
- 递推极大似然算法实现
- 更换Homebrew的更新源
- 1.7 试探法(回溯法)
- 2014第五届蓝桥杯预赛试题本科c++史丰收速算
- 操作系统系列常见八股文
- Max-Margin Regularization for Chamfer Matching
- 基于python的数据爬虫学习与体会
- Field xxxMapper in xxxServiceImpl required a bean of type XxxMapper解决方法
- 推荐一款好用的码农笔记软件Typora!!(附安装包及教程)
- django对接阿里云支付
- NatApp内网穿透 微信公众号本地开发调试
- 鄂尔多斯一旗区对50名拟提任科级干部进行公示!
- 2022年有多少人使用微信?