上一篇博客我们讲解了二进制小数如何表示以及IEEE浮点标准。而且我们也提到过因为这种表示方法限制了浮点数的范围和精度，浮点数只能近似的表示一个数。

　　比如 数字1/5，我们能用十进制小数 0.2 准确的表示，但是我们却不能把它准确的表示为一个二进制小数，我们只能通过增加二进制表示的长度来提高表示的精度。如下：

　　那我们该怎么办呢？

1、舍入

　　对于不能精确的表示的数，我们采取一种系统的方法，找到“最接近”的匹配值，它可以用期望的浮点形式表现出来，这就是舍入。

　　舍入一共有四种方式，分别是向偶数舍入、向零舍入、向上舍入以及向下舍入。

　　可以看下面的例子：

　　向偶数舍入，是将数字向上或向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数；而向零舍入则是向靠近零的值舍入；向上舍入则是向比它大的方向靠近；向下舍入则是向比它小的方向靠近。

　　这四个我们可以用一个直角坐标系来理解：

　　除了向偶数舍入以外，其它三种方式都会有明确的边界。这里的含义是指这三种方式舍入后的值x'与舍入之前的值x会有一个明确的大小关系，比如对于向上舍入来说，则一定有x <= x'。对于向零舍入来说，则一定有|x| >= |x'|。

　　那么我们什么时候会使用向偶数舍入呢？

　　1、比如舍入一组数值，计算这些值的平均数中引入统计偏差，如果向上舍入，那么得到的平均值会比这些数本身的平均值略高；向下舍入，则会偏低。而向偶数舍入则会避免这种偏差，在50%的时间内，它向上舍入，剩下50%的时间内，它向下舍入。

　　2、在我们不想舍入到整数时，我们只是简单的考虑最低有效数字是奇数还是偶数。

　　通常情况下我们采取的舍入规则是在原来的值是舍入值的中间值时，采取向偶数舍入，在二进制中，偶数我们认为是末尾为0的数。而倘若不是这种情况的话，则一般会有选择性的使用向上和向下舍入，但总是会向最接近的值舍入。其实这正是IEEE采取的默认的舍入方式，因为这种舍入方式总是企图向最近的值的舍入。

2、浮点运算

　　在IEEE标准中，制定了关于浮点数的运算规则，就是我们将把两个浮点数运算后的精确结果的舍入值，作为我们最终的运算结果。正是因为有了这一个特殊点，就会造成浮点数当中，很多运算不满足我们平时熟知的一些运算特性。

　　我们可以先看下面这段程序输出结果：

　　结果都是 3.14 吗？

　　我们看到 f1 的值是0，f2的值才是3.14。为什么呢？这是因为前面3.14f+10000000000f  时，会将 3.14 这个有效数值舍入掉，而导致最终结果为0.0

　　f2 由于括号的存在，会先进行括号里面的运算，结果是0，然后在与3.14相加。

　　也就是浮点运算不满足加法的结合律 a + b + c ！= a + (b + c)。同时乘法结合律也不满足：a * b * c != a * (b * c)；还要分配律也不满足： a * (b + c) != a * b + a * c

　　浮点数失去了很多运算方面的特性，因此也导致很多优化手段无法进行，比如我们试图优化下面这样一段程序。

　　上面优化前是进行了四次浮点运算，而编译器优化后只需要进行三次浮点运算。但是这中间的 x 可能回产生与原始值不同的值，因为它使用了加法运算不同的结合方式。所以现在的编译器都倾向于保守的方式，避免任何对功能产生的优化，即使是很轻微的影响。

　　另外，浮点加法满足单调性属性：如果 a>=b，那么对于任何a、b以及 x 的值，除了 NaN，都有 x+a >= x+b。无符号或者补码加法不具有这个实数（和整数）加法的属性。

3、总结

　　好了，那么到此《深入理解计算机系统》前面两章的内容我们就结束了，这里我们主要需要了解无符号和补码编码格式，以及它们的运算。然后扩展到整数的表示和运算，实数的表示和运算，在实际编程中，我们会经常和数打交道，如何避免一些错误，相信看完后会有个大概的了解了。那么接下来我们将学习第三章，这将是一个全新的世界——汇编语言。这肯定比我们前面讲的要有趣多了，前面都是和0或者1这样的数字打交道，后面至少是一种编程语言，相信会更加有趣。