R语言【基本计数原理与技巧——阶乘、组合、排列】

加法原理定义：做一件事有n种方法，第一类有m1m_1m1种方法，第二类有m2m_2m2种方法，…第n类有mnm_nmn种方法，完成这件事共有m1m_1m1+m2m_2m2+…+mnm_nmn种不同的方法。

乘法原理定义：如果完成一个事件可以分解为n个独立的步骤，每个步骤均有m种实现方式，那么，完成这一事件总共有mxn种方法。

分类问题用加法，分步问题用乘法。

定义 1.1 （阶乘）阶乘(factorial)，即阶乘式的乘法，定义如下：
n!=n×(n−1)×(n−2)×...×3×2×1n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times3\times2\times1 n!=n×(n−1)×(n−2)×...×3×2×1
规定 0! = 1.

有时可能遇到双阶乘(double factorial)，其定义为
n!!={n×(n−2)×...×4×2,n为偶数；n×(n−2)×...×3×1,n为奇数n!! = \begin{cases} n\times(n-2)\times...\times4\times2, n为偶数； \\ n\times(n-2)\times...\times3\times1, n为奇数\\ \end{cases} n!!={n×(n−2)×...×4×2,n为偶数；n×(n−2)×...×3×1,n为奇数
仍规定0!! = 1

在R语言中，计算阶乘的命令为factorial()、例如，求10！的命令为

factorial(10)
[1] 3628800

定义1.2 (排列) 排列(permutation)是指从n个不同元素中无放回(without replacement)地抽取r(r≤\leq≤n)个元素所排成的一列（考虑元素的先后次序）此排列的总数为nPr_nP_rnPr，又记为PnrP^r_nPnr或AnrA^r_nAnr（A是排列的另一英文Arrangement的首字母），排列的计算方式如下：
nPr=n!(n−r)!_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} nPr=(n−r)!n!
特别地，有nPn=n!_nP_n = n!nPn=n!.

定义1.3(组合) 组合(combination)是指从n个不同的元素中无放回地抽取r(r≤\leq≤n)个元素并成一组（不考虑元素的先后次序），记为nCr_nC_rnCr或CnrC^r_nCnr或(rn)(^n_r)(rn)。或者说，组合数其实考虑的是n个不同元素中无放回地抽取r(r≤\leq≤n)个元素，可以构成的不同子集的个数，组合的计算方式如下：
nCr=nPrr!=n!(n−r)!r!_nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} nCr=r!nPr=(n−r)!r!n!
特别地，规定nC0=nCn=1_nC_0 = _nC_n = 1nC0=nCn=1.

R中计算组合的命令为choose(n,k),给出的是nCK_nC_KnCK的值，例如，求10C5_{10}C_510C5的命令为

choose(10, 5)
[1] 252

计算排列的命令，如10P5_{10}P_510P5时,可利用关系式10P5=10C5×5!_{10}P_5 = _{10}C_5\times5!10P5=10C5×5!，输入如下命令：

choose(10, 5) * factorial(5)
[1] 30240

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