关于奈奎斯特采样中的频率镜像

在学习数字信号处理时，经常提到奈奎斯特采样定律，也经常看到下图：

很多时候，对上图横坐标fs处的虚线频谱不理解，怎么就有那个虚线了呢？那个虚线处，一般说是镜像频谱。

现在举例说明：

假如有两个sine波形，一个频率是1000Hz，另外一个频率是7000Hz.

s0 = sin(2*pi*1000*t), pi表示圆周率3.1415926......

s1 = sin(2*pi*7000*t)

我们知道，这两个sine波是不一样的，一个是1000Hz频率，一个是7000Hz频率，如果播放出来，给人的听觉是完全不同的。

上面两个波形是用连续信号（或者说模拟信号）的方式表达的。现在，我们要对他们进行数字化并存储下来，不幸的是，我们只有一个8000Hz采样率的采样设备，即一秒钟能采样8000个点。每个点我们用x[k]来表示，其中k是0,1,2,3,4.....的整数。那么，每个点的采样时间间隔就是 1/8000秒。

所以，每个点的采样时间点在：

0秒 1/8000秒 2/8000秒 .......... k/8000秒.........

则对s0采样，可以表示为：

x0[k] = sin( 2*pi*1000*(1/8000*k) )

对s1采样，可以表示为：

x1[k] = sin(2*pi*7000*(1/8000*k) )进一步整理得到

x1[k] = sin(2*pi*（8000 - 1000）*(1/8000*k) )

= sin(2*pi*8000*(1/8000*k) - 2*pi*1000*(1/8000)*k)

= sin(2*pi*k - 2*pi*1000*(1/8000*k) )

= - sin(2*pi*1000*(1/8000*k))

可以看到x0[k] 与 x1[k]序列，只是符号相反，幅度是完全相同的。也就是说，频率相同，相位相反。

更一般的，假设一个频率是f0（令其小于fs/2），另外一个频率是fs - f0，其中fs是采样频率。

则

x[k] = sin(2*pi*(fs-f0) * 1/fs * k )

= sin(2*pi*k - 2*pi*f0*1/fs*k)

= -sin(2*pi*f0*1/fs*k)

所以，fs - f0频率的sine波，与f0频率的sine波，在用fs采样率来采样的话，会得到频率相同相位相反的序列。

matlab代码如下：

fs=8000;
t=[0:1/fs:1];
f0 = 1000;
f0_mirror = 7000;
x = sin(2*pi*f0*t);
x_mirror = sin(2*pi*f0_mirror*t);

subplot(2,1,1),plot(x(1:100),'.-');
subplot(2,1,2),plot(x_mirror(1:100),'.-');

得到如下图形：

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