4. 寻找两个有序数组的中位数（☆☆☆）

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

思考：

看了Grandyang的博客，慢慢想明白才写的！真的是很细心耐心的博主！

限制了时间复杂度为O(log (m+n))，想到了应该使用二分查找法来求解。

寻找数组的中位数的小技巧：假设数组的长度是m，找第(m+1)/2位和第(m+2)/2位的元素，两者的平均数即为数组的中位数。

我们可以在两个数组之间使用二分查找。分别去查找每个数组的(m+n+1)/2的元素和(m+n+2)/2的元素求平均数。

首先：定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素（这道题可以出成：两个有序数组找第N大）

有两个边缘情况要注意：

1、当数组的起始位置已经大于等于数组的长度（这时只用去寻找另一个数组即可），此时表明这个数组中所有元素已经被排除了，所以直接去寻找另一个数组起始位置：j + k /2 -1的元素。

2、当K == 1时，表示要查找当前数组的首元素，举个例子如下图：

算法思路：

分别在nums1和nums2中查找第K/2个元素，数组长度是不定的，所以要确定当前的数组有没有k/2个元素，如果存在就取作midval值，否则就赋值上一个整型最大值INT_MAX。如果某个数组没有第K/2个数字，那么我们就淘汰另一个数组的前K/2个数字即可。若找到的midVal1 大于 midVal2，说明该去查找num1的下半区间[i +k/2 -1 +1,end] （i+k/2 -1 :mid 另外一半区间应该是起始mid +1 ），有序数组的中位数，左边的都比它小，右边的都比它大。

重点理解：“如果某个数组没有第K/2个数字，那么我们就淘汰另一个数组的前K/2个数字即可。”

一开始没理解后来主动问了博主：Grandyang。举例子：假设nums1 ={3},nums2={2,4,5,6,7},K=4,我们要在两个数组中找第四个的元素，分别在nums1和nums2中找第2个的元素，现在nums1只有一个数字，所以不存在第二大的数字，而nums2前两个数字可以直接跳过。

因为要求整个两个数组中第4个的元素，如果num1中数字大于num2第k/2位，那么合并之后也是在num2第k/2位之后，而num2的前k/2位是没用的，直接跳过；如果num1中数字是小于num2第k/2位置，但是元素个数是小于k/2，即使合并，这两部分元素个数也只小于k个，所以也不可能在num2的k/2部分，所以第4个的元素肯定不会出现在一个排序数组nums2的前两位，所以可以直接跳过。


/*查找两个数组中排列第K个数*/
int findKthNumber(vector<int>& nums1,int i ,vector<int>& nums2,int j,int k){if(i >= nums1.size())   return nums2[j+k-1];if(j >= nums2.size())   return nums1[i+k-1];//if(k ==1) return (double(nums1[i] + nums2[j]));wrongif(k == 1) return min(nums1[i],nums2[j]);//查找有没有k/2个元素int midVal1 = (i+k/2-1 < nums1.size())?nums1[i+k/2-1]:INT_MAX;int midVal2 = (j+k/2-1 < nums2.size())?nums2[j+k/2-1]:INT_MAX;if(midVal1 < midVal2)/*二分查找，丢弃前半部分包括正中间的数，因为二分查找正是利用中间的数来进行比较*/return findKthNumber(nums1,i+k/2,nums2,j,k-k/2);elsereturn findKthNumber(nums1,i,nums2,j+k/2,k-k/2);
}

还有一个地方值得注意：二分查找的时候，是利用中间数位的值进行比较，所以下一次递归的起始位置就应该从mid+1开始，或者截止位置到mid-1。

整体代码：

/*分清 起始位置 和 第几个元素 */
int findKthNumber(vector<int>& nums1,int i ,vector<int>& nums2,int j,int k){if(i >= nums1.size())   return nums2[j+k-1];if(j >= nums2.size())   return nums1[i+k-1];//if(k ==1) return (double(nums1[i] + nums2[j]));wrongif(k == 1) return min(nums1[i],nums2[j]);//查找有没有k/2个元素的位置     i + k/2 -1 int midVal1 = (i+k/2-1 < nums1.size())?nums1[i+k/2-1]:INT_MAX;int midVal2 = (j+k/2-1 < nums2.size())?nums2[j+k/2-1]:INT_MAX;if(midVal1 < midVal2)return findKthNumber(nums1,i+k/2,nums2,j,k-k/2);elsereturn findKthNumber(nums1,i,nums2,j+k/2,k-k/2);
}
class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int m = nums1.size(),n = nums2.size();int left = (m+n+1)/2,right = (m+n+2)/2;return        (findKthNumber(nums1,0,nums2,0,left)+findKthNumber(nums1,0,nums2,0,right))/2.0;}
};

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