在实数域中，连接两个真理的最短的路径是通过复数域 ----雅克·阿达马

复数认知阶段

阶段一

高中数学定义
i=−1i=\sqrt{-1} i=−1
再定义复数
a+bi(a,b∈R)a+b i \quad(a, b \in \mathbb{R}) a+bi(a,b∈R)
这样一元二次方程就总是有解了！
ax2+bx+c=0(a≠0)a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0) ax2+bx+c=0(a̸=0)
x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} x=2a−b±b2−4ac
然后就可以出很多乱七八糟的考题了！

阶段二

有了复数之后，以下原本在实数上不可以进行的操作都可以进行

任意开根号
−4=2i\sqrt{-4}=2 i −4=2i
对负数做对数运算
ln⁡(−5)=ln⁡(5eiπ)=ln⁡5+ln⁡eiπ=ln⁡5+iπ\ln (-5)=\ln \left(5 e^{i \pi}\right)=\ln 5+\ln e^{i \pi}=\ln 5+i \pi ln(−5)=ln(5eiπ)=ln5+lneiπ=ln5+iπ

但这两种还是不可以

除以0
log⁡(0)\log (0)log(0)

扩展数系

问：扩展数系的时候，为什么不能发明一种数系，兼容“除以0”这个操作呢？
答：因为没有办法自洽，兼容“除以0”之后会得到悖论。所以“兼容除以0”这个目标就是错误的。就像“永动机”这个目标一样。
0=0⟹2⋅0=1⋅0⟹2⋅00=1⋅00⟹2=10=0 \Longrightarrow 2 \cdot 0=1 \cdot 0 \Longrightarrow \frac{2 \cdot 0}{0}=\frac{1 \cdot 0}{0} \Longrightarrow 2=1 0=0⟹2⋅0=1⋅0⟹02⋅0=01⋅0⟹2=1

问：扩展数系的时候，为什么可以轻松得到i=−1i=\sqrt{-1}i=−1？
答：因为复数这个东西本来就是合理的，等待人们发现而已。（有一种轮回的感觉。。）

复数是二维的数

理解多维空间的一个小视频 - YouTube

假设有一个生活在二维空间中的纸片人：

突然发现有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁，纸片人完全不知道怎么去解释：

如果切换到三维视角去的话，问题就很简单了，原来是一个三维的球体穿过二维平面：

实数是一维的数，既生活在一维的实数轴上，又困囿其上：

而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：

复数的历史

纸片人卡尔达诺

意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺（1501－1576），在它的著作《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法）提到这个一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？

他给出一个答案，令：
a=5+−15b=5−−15a=5+\sqrt{-15}\quad b=5-\sqrt{-15} a=5+−15b=5−−15
这样就满足题目的要求：
a+b=10a⋅b=40a+b=10\quad a\cdot b=40 a+b=10a⋅b=40
不过他自己也认为这不过就是一个数学游戏，虽然出现了虚数，但是“既不可捉摸又没有什么用处”。

此时的卡尔达诺就好像之前的纸片人，虽然想到了虚数，触摸到了更高的维度，但是终究还是把它看成一种幻想。

之后的笛卡尔把i=−1i=\sqrt{-1}i=−1称为虚数，也就是虚幻的、想像出来的数；莱布尼兹描述它为“介乎于存在与不存在之间的两栖数”。

确实，纸片人要跳出自己的维度去想问题是非常困难的。

邦贝利的思维飞跃
拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，同时也是一个卓越的数学家，其出版于1572年的《代数学》一书讨论了负数的平方根（虚数）：

正是这本书产生了一个思维飞跃。

标准的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0) ax2+bx+c=0(a̸=0)
在b2−4ac<0b^{2}-4ac < 0b2−4ac<0时曲线与x轴不相交，应该无解。
一元三次方程
x3−3px−2q=0x^{3}-3 p x-2 q=0 x3−3px−2q=0
通解是
x=q+q2−p38+q−q2−p33x=\sqrt[8]{q+\sqrt{q^{2}-p^{3}}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^{2}-p^{3}}} x=8q+q2−p3+3q−q2−p3
假设方程
x3−15x−4=0x^{3}-15 x-4=0 x3−15x−4=0
图像是

套用通解得到
x=2+22−533+2−22−533=2+11i3+2−11i3x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^{2}-5^{3}}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^{2}-5^{3}}}=\sqrt[3]{2+11 i}+\sqrt[3]{2-11 i} x=32+22−53+32−22−53=32+11i+32−11i
邦贝利指出：从几何上看是有解的，但是必须通过虚数来求解！
邦贝利大胆地定义了复数的乘法（就是多项式乘法的合理延伸）：
(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi^2 (a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2

最终通过复数以及复数乘法，邦贝利解出了此方程的三个实数解。

这是一个巨大的思维飞跃，就好像刚才的纸片小人，困惑于“为什么有一个黑点在草地上忽大忽小的闪烁”？最终发现，需要通过更高纬度才能真正解决这个问题。邦贝利通过更高维度的复平面，解决了低维度的实数问题，真正的把复数带入了人们的视野。所以他被认为是复数的发现者。

更高维的数

自然会有这么一个问题，是否有更高维度的数？答案是有的，比如四元数。

威廉·哈密顿爵士（1805－1865）发现了四元数：
a+bi+cj+dka+bi+cj+dk a+bi+cj+dk

其中i、j、k就是对虚数维度的扩展。为此还成立了四元数推广委员会，提议学校像实数一样教授四元数。
四元数刚开始的时候引起了很大的争议，计算很复杂，但是用处不明显。用处不明显的原因或许是，当时面临的问题还不够复杂，还用不到比复数还高的维度。到了现代，终于在电脑动画中、量子物理中找到了四元数更多的应用，只是这些应用对普通人距离太远了。

文章来源
https://www.matongxue.com/madocs/1709/

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