Enigmatic Partition

原题请看这里

题目描述：

数字nnn的分区是所有数字之和等于nnn的集合。
如果分区n=a1+a2+...+amn = a_1 + a_2 + ... + a_mn=a1+a2+...+am满足以下特征，则称为神秘分区：

aia_iai是整数，1≤ai≤n1 \le a_i \le n1≤ai≤n forforfor 1≤i≤m1 \leq i \leq m1≤i≤m，并且
ai≤ai+1≤ai+1a_i \leq a_{i + 1} \leq a_i + 1ai≤ai+1≤ai+1表示1≤i≤m1 \leq i \leq m1≤i≤m，并且
am=a1+2a_m = a_1 + 2am=a1+2

令f(n)f(n)f(n)为nnn的神秘分区的数量。给定lll和rrr，请计算∑i=lrf(i)\sum_ {i = l} ^ r f(i)∑i=lrf(i)

输入描述：

第一行包含测试用例的数量T(1≤T≤10,000)T(1 \le T \le 10,000)T(1≤T≤10,000)。
在下面的每条TTT行中，都有两个整数lll和r(1≤l≤r≤100,000)r(1 \le l \le r \le 100,000)r(1≤l≤r≤100,000)。

输出描述：

对于每个测试用例，输出一行包含CaseCaseCase #xxx：yyy 的行，其中x是测试用例编号，y是答案。

样例输入：

样例输出：

Case #1: 2
Case #2: 7
Case #3: 8

说明：

f(1) = 0.
f(2) = 0.
f(3) = 0.
f(4) = 0.
f(5) = 0.
f(6) = 1: 6 = 1 + 2 + 3.
f(7) = 1: 7 = 1 + 1 + 2 + 3.
f(8) = 2: 8 = 1 + 1+ 1 + 2 + 3, 8 = 1 + 2 + 2 + 3.
f(9) = 4: 9 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3, 9 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 9 = 1 + 2 + 3 + 3, 9 = 2 + 3 + 4

思路：

考虑差分。
首先，我们观察题目所给的f(n)f(n)f(n)的条件：首项末项相差为二，且相邻数字的差值最多为111的不下降序列。
所以对于每一个这样的序列我们都可以分成三段：

a1+a2+a3=ma_1+a_2+a_3=ma1+a2+a3=m
a1，a2，a3≥1a_1，a_2，a_3 \ge 1a1，a2，a3≥1

根据题目意思，我们可以列出下面的等式：

a1val+a2(val+1)+a3(val+2)a_1val+a_2(val+1)+a_3(val+2)a1val+a2(val+1)+a3(val+2)
=a1val+a2val+a2+a3val+2a3=a_1val+a_2val+a_2+a_3val+2a_3=a1val+a2val+a2+a3val+2a3
=val(a1+a2+a3)+a2+2a3=val(a_1+a_2+a_3)+a_2+2a_3=val(a1+a2+a3)+a2+2a3
=valm+a2+2a3=valm+a_2+2a_3=valm+a2+2a3
=n=n=n

这里我们可以发现，对于每一个nnn都可以分成444个未知数:val,m,a2,a3val,m,a_2,a_3val,m,a2,a3，其中a2,a3≥1a_2,a_3 \ge 1a2,a3≥1
想到这里，我们就要引入解这题的重要方法————差分

差分用来求解区间加减求和的问题。
实现：对于每一个区间，我们在差分数组上对这个区间的第一个位置加上修改值，最后一个位置减去修改值，再对差分数组求前缀和，那么这个得到的前缀和数组就是最后经过修改的数组。
简单来说，设原数组是a[]a[]a[]，差分数组是b[]b[]b[]，那么ai=bi−bi−1a_i=b_i-b_{i-1}ai=bi−bi−1
对于差分，还有两个变式：

二阶差分

二阶差分其实就是差分里再套一个差分，假设要减去或加上一段有规律的数字，可以对差分数组再进行差分，得到一个二阶差分数组，就可以把有规律的转化成同样的数值。

隔项差分

隔项差分就是隔一项差分一次。
介绍完差分，回到本题：
刚刚我们推出了：
valm+a2+2a3=nvalm+a_2+2a_3=nvalm+a2+2a3=n
以下我们以val=1，m=6为例列表分析，设标记数组为fnf_nfn：

n	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
a3=4a_3=4a3=4							123333
a3=3a_3=3a3=3					112333	122333
a3=2a_3=2a3=2			111233	112233	122233
a3=1a_3=1a3=1	111123	111223	112223	122223
位置：	val*m+3				(val+1)m+1	(val+1)m+2				(val+2)m
fn:f_n:fn:	1	1	2	2	2	1	1	0	0	0
差分	1	0	1	0	0	-1	0	-1	0	0
隔项	1	0	0	0	-1	-1	0	0	0	1

所以我们只要枚举valvalval和mmm的值，在区间首尾进行标记，最后变回原来的数组就可以了
比赛的时候想了半天没想到点子上呜呜呜呜

ACACAC CodeCodeCode:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int MAXN=1e5+10;
ll t,l,r,qian[MAXN<<1],f[MAXN<<2];
int main(){for(int i=3;i<MAXN;++i)for(int j=i;j<MAXN;j+=i){f[j+3]++;f[j+2*i]++;f[j+i+1]--;f[j+i+2]--;}for(int i=3;i<MAXN;++i) f[i]+=f[i-2];for(int i=1;i<MAXN;++i){f[i]+=f[i-1];qian[i]=qian[i-1]+f[i];}scanf("%lld",&t);for(int Case=1;Case<=t;Case++){scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("Case #%d: %lld\n",Case,qian[r]-qian[l-1]);}
}

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