24张神GIF动图：数学概念这么酷！

让我们面对它；总的来说数学是不容易的，但当你征服了问题，并达到新的理解高度，这就是它给你的回报。”

——DanicaMcKellar

数学是很难的学科，但因为它是科学家用数学来解释宇宙的语言，我们无可避免地要学习它。

看看下面的这些GIF动图，它们提供了视觉的方式来帮助你理解各种数学技巧。

1、椭圆的画法

2、杨辉三角问题(Pascaltriangles)解法

3、使用“FOIL”轻松的解决二项式乘法

4、对数解法技巧

5、矩阵转置的技巧

6、勾股定理

7、多边形的外角之和总是等于360度

8、圆周率π

9、一弧度就是长度刚好等于半径的一段圆弧所对的圆心角

10、在Y轴上使用正弦(红色)，在X轴上使用余弦(蓝色)，则在XY轴平面上画出的环形(黑色)

11、同前一原理，但更简单

12、这是将sin和cos运用到三角形上

13、余弦是正弦的衍生物

14、正切线

15、同上，但翻个面看，更容易理解

16、将一个公式从笛卡尔坐标转换成轴坐标

17、画抛物线

18、黎曼和(Riemannsum)约等于其曲线下的面积

19、双曲线

20、将双曲线表现成3D形式，也许你不相信，它完全是用直线画成的

21、你甚至可以做成这样的效果

22、弧长与弧度

23、四个不同角度看余弦函数

24、正弦函数

把这个曲线绕旋转轴旋转一周，形成一个曲面，叫做单叶双曲面。看看下图你就会发现，这根杆所在直线是这个曲面的一部分：

对于一个曲面，如果经过曲面上的每一点都有一根直线在曲面上，我们就称之为直纹曲面。圆柱面、圆锥面都是直纹曲面的例子，单叶双曲面也是如此，只不过它上面的直线看起来不是那么显而易见。

单叶双曲面还有一个神奇的地方：通过它上面的每一个点，都有两条直线在曲面上。

这样的特点使得单叶双曲面在建筑当中也有特殊的应用，比如说俗称“小蛮腰”的广州新电视塔。

圆锥曲线

大家都知道，椭圆、抛物线、双曲线这些曲线称为“圆锥曲线”，但这个词是怎么来的呢？

既然叫圆锥曲线，当然与圆锥有关。首先，我们来想象一个圆锥——确切地说，是一个圆锥面。它是一条直线绕与它相交（但不垂直）的另一条直线旋转一周所形成的曲面。我们平常所见的圆锥体的侧面，只是圆锥面的一部分。

然后，我们用一个平面去截它。平面与圆锥面相交之处，是一条曲线。由于整条曲线都在这个平面上，我们可以把它看作一个平面曲线。这便是圆锥曲线。平面与圆锥的旋转轴所成的角度不同，曲线就会变成不同的形状：圆、椭圆、抛物线、双曲线（其中圆可以看作是一种特殊的椭圆）。

对圆锥曲线的研究是从古希腊开始的。那时还没有解析几何，数学家研究圆锥曲线的时候，采用的就是上面的定义。古希腊数学家阿波罗尼奥斯就是从这样的定义出发，写下了八卷《圆锥曲线论》。

图中还展示了一些圆锥曲线的退化情形：在平面经过圆锥的顶点的时候，圆锥曲线会变成一些两条相交的直线，两条重合的直线，或者一个点。

圆面积公式

圆面积公式S =πr2大家都学过，你还记得课本中如何讲解这个公式的推导吗？在我当年学习的人教版的教材中，是把圆剪成了一个个小扇形，然后把它们近似地拼成一个长为πr，宽为r的矩形。扇形裁得越小，拼出来的东西也就越接近矩形，然后用矩形的面积公式就可以计算了。

而这里用了另一种办法：把圆拆成一个个同心的细圆环。然后，把这些圆环展开，变成高为r，底边长为2πr的的三角形。当然，这谈不上是严谨的证明，但其中已经蕴含了一些微积分的思想。我们甚至可以利用类似于古希腊穷竭法的办法，把它写成一个相对严谨的证明。

戳这里可以看到原作者的Mathematica代码。

无限雪花

“分形”这个词大家可能已经见过很多次了。它的特点是自相似。比如说，上图中的科赫曲线，它的局部放大之后和整体长得一模一样。

那这样的曲线是怎样画出来的呢？

我们先画一条线段，然后把它三等分，将中间的那一段换成两段同样长的线段。这样，我们就有了四条线段。对这四条线段也重复这一过程。每重复一次，称为一次迭代。无限地迭代下去之后，我们就得到了科赫曲线。

当然，实际画图的时候，不可能真的无限迭代下去，常常只需要迭代有限多次，直到看不出区别了为止。

Matrix67在他的博客中也展示过科赫曲线的绘制过程：

在这里还可以看到一个三维的分形动图，3D眩晕者慎点。

朱利亚集

这是另外一种分形——朱利亚集（Julia set）。什么是朱利亚集？

我们首先固定一个常数C，对复平面上的一个点，不断地重复进行变换z→z2+C。这样得到的一些点会越跑越远，一直趋向于无穷；而另一些点则一直呆在原点附近，不会跑出一个有限范围。第二类的点所构成的集合，就是朱利亚集。

当常数C取值不同时，画出来的朱利亚集也会不同。上面的动图就展示了在C变化时朱利亚集的变化。由这种方式生成的分形图案被称为“逃逸时间分形”。

但是，严格来说，上面所说的只是“填充”的朱利亚集（filled-in Julia set）。真正的朱利亚集是它的边界，也就是上图中的白色线条部分。前面所讲的变换，只是一个二次多项式。对于“填充”的朱利亚集，这个概念可以推广到一般的多项式。对于真正的朱利亚集，还可以推广到分式。

而真正的朱利亚集又有另外一种画法：

先选取一些点，然后对它们不断地进行该变换的“逆变换”——准确的说法是取它们在这个变换下的原像，而一个点的原像往往不止一个。对变换z→z2+C来说，它的原像就是先减去常数C——在图上看来就是平移；然后开平方根——一个数的平方根有两个，在图上看来是先扭一扭，再复制一个到下半平面。每一步都一个变两个，因此出来的点会越来越多。这些点的极限便是朱利亚集。

布朗树

这又是另外一种类型的分形——布朗树，生成这种分形的过程，则叫做扩散限制聚集（Diffusion-limited aggregation，简称DLA）。

这过程说起来也很简单：我们有很多粒子和一枚“种子”，粒子在空间中随机游走，但只要碰到种子就会在聚集它上面。种子上聚集的粒子越来越多，就会长成一棵有着错综复杂的结构的“大树”。

科赫曲线和朱利亚集都很漂亮，但在日常生活中不太容易看到。布朗树就不一样了，我们可以在很多地方看到自然形成的布朗树构造，比如说，在皮蛋上：

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