我们之所以感觉高三或高四很辛苦，除过高中最后一学年是冲刺阶段，任务量大，知识难度大，知识使用灵活，综合程度高，考查频次高，学习强度大这些原因之外，还有一个很重要的原因，就是我们不少学生一直在低效率层次上运转，但愿下面的题组和知识的总结方法，或许能给你一些学习方法和数学思维上启迪。

选择案例，限定条件下的均值不等式使用，这本来也是重点和难点；

案例说明

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 均值不等式中有一类常考题型，比如求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换或乘常数再除常数。 模型：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

分析如下： $\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})$ $=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})$ $\ge \cfrac{1}{2}(11+4\sqrt{6})$ 当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=2}\\{\cfrac{2m}{n}=\cfrac{12n}{m}}\end{array}\right.$时取到等号；
思维模式： $\begin{gather*} &2m+3n=2 \\ &\cdots \\&\cdots\end{gather*}$ $\Bigg\}\xrightarrow[或间接推出]{直接给出} 2m+3n=2\xrightarrow[乘常数除以常数]{其他式子}$ $\begin{cases} &\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n} \\ &\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n} \\ &\cdots\end{cases}$

掌握了上述的模型，就能解决这一类问题了吗，回答是否定的，因为限定条件完全可能会以其他形式给出来。请通过下列的例子自行体会、把握。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以简单变形形式给出 例2 ：已知$m>0，n>0，m+\cfrac{3}{2}n=1$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。 又或已知$m>0，n>0，\cfrac{1}{n}+\cfrac{3n}{2m}=\cfrac{1}{mn}$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：此时只需要将已知条件转化为$2m+3n=2$，接下来，就转化为上述题目了，你就应该会了。

解后反思：注意数学表达式的等价变形。 静雅凤中\(\;\cdot\;\)学法指导
限定条件以直线的形式给出
例3已知点\(P(m，n)\)在直线\(2x+3y=2，x>0，y>0\)上，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：则有\(2m+3n=2\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值，又转化为上述问题了。

解后反思：注意其他数学知识的准确应用。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以线性规划形式给出 例4如已知$x，y$满足约束条件$\begin{cases} &x+y\ge 3 \\ &x-y\ge -1 \\ &2x-y\leq 3 \end{cases}$ ，若目标函数$z=ax+by（a＞0，b＞0）$的最大值为10，则$\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}$的最小值为多少？

详解：做出可行域可知， 当目标直线经过点$(4，5)$时，函数取得最大值， 即此时题目相当于已知$4a+5b=10$，求$\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}$的最小值，不是又转化为上述问题了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确表达。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以极限或定积分的形式给出 例5已知$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。 如已知$\int_{1}^{2} x\; dx=m+n，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：你可能不会极限和定积分的运算，但是肯定能知道，运算到最后的结果必然是$m+n=$某个确定的值，比如$m+n=\cfrac{1}{5}$， 这样题目就转化为已知$m+n=\cfrac{1}{5}，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。 静雅凤中\(\;\cdot\;\)学法指导
限定条件以二项式系数的形式给出
例6已知\((\cfrac{x}{2}+1)^9\)展开式中，含\(x^3\)项的系数为\(m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

详解：\((\cfrac{x}{2}+1)^9\)展开式中通项公式为\(T_{r+1}=C_9^r\cdot (\cfrac{x}{2})^{9-r}\cdot 1^r=C_9^r\cdot x^{9-r}\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-r}\cdot 1^r\)，
当\(r=6\)时，含\(x^3\)项的系数为\(C_9^6\cdot (\cfrac{1}{2})^{9-6}=\cfrac{21}{2}\)
到此题目转化为已知\(m+n=\cfrac{21}{2}，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
这不就是上述题目吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。

静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以数列形式给出 例7已知正项等比数列$\{a_n\}$满足：$a_7=a_6+2a_5$，若存在两项$a_m，a_n$，使得$a_ma_n=16a_1^2$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：由$a_7=a_6+2a_5$，得到$a_5\cdot q^2=a_5\cdot q+2a_5$，解得$q=2$或$q=-1$(舍去负值)，这样由$a_m\cdot a_n=16a_1^2$，得到$(a_1)^2\cdot 2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16a_1^2$，即$2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16=2^4$即$m+n=6，m >0，n >0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值，这样不就好解多了吗？

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以向量形式给出 例8【2017宝鸡市三检】设向量$\overrightarrow{OA}=(1，-2)$，$\overrightarrow{OB}=(a，-1)$，$\overrightarrow{OC}=(-b，0)$，其中$O$为坐标原点，$a，b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值为多少？

详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$，即$(1，-2)=\lambda(a，-1)+(1-\lambda)(-b，0)$即$\begin{cases}\lambda a-(1-\lambda)b=1\\ -\lambda=-2 \end{cases}$，即$2a+b=1$，这样题目就转化为已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值，这不就是上述题目吗？

解后反思：注意三点共线的向量表示形式。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以以对数方程的形式给出 例9已知$x>0$,$y>0$，$lg2^x+lg8^y=lg2$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}$的最小值。

详解：由已知条件可知，$lg2^x+lg2^{3y}=lg2$，即$lg2^{x+3y}=lg2$，即$x+3y=1$， 到此题目转化为$x+3y=1，x>0，y>0$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}$，不就容易了吗？

解后反思：注意对数的运算性质和运算法则。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件直线过圆心或直线平分圆的形式给出 例10已知直线$ax+by-6=0(a，b>0)$过圆$x^2+y^2-2x-4y=0$的圆心(或直线平分此圆)，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

详解：圆心即$(1，2)$，直线经过圆心，则有$a+2b-6=0$，即$a+2b=6$。 到此，题目为$a+2b=6，a>0，b>0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以概率的形式给出 例11一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为$a$，得2分的概率为$b$，不得分的概率为$c$（$a,b,c\in (0,1)$）,已知他投篮一次得分的均值为2，求$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}$的最小值。

详解：分析：由题目可知投篮一次得分的均值$EX=3a+2b=2(a>0,b>0)$，求$\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}$的最小值。

解后反思：注意其他数学知识点的准确计算和表达。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以解三角形和三角形的面积形式给出 例12已知点M是$\Delta ABC$内的一点，且$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$， 若$\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值。

详解：由$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}$， 故有$|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}$，得到$bc=4$， 所以$S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1$， 又$\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB$的面积分别为$\cfrac{1}{2},x,y$， 故有$\cfrac{1}{2}+x+y=1$，即$x+y=\cfrac{1}{2}$。 到此，题目为已知$x+y=\cfrac{1}{2}，x>0，y>0$，求$\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}$的最小值。可仿模型解决。

解后反思：注意向量和三角形面积公式的使用。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以导数和极值的形式给出 例13已知$a>0，b>0$，且函数$f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1$在$x=1$处有极值，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

详解：$f'(x)=-3x^2+4ax+b$，$f'(1)=-3+4a+b=0$，到此即相当于已知$4a+b=3，a>0，b>0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

解后反思：注意导数的运算。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以正态分布的形式给出 例14已知随机变量$X$服从正态分布$X \sim N(10，\sigma^2)$，$P( X > 12)=m$ ，$P(8\leq X \leq 10)=n$ ，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

详解：由正态分布图像的对称性可知，$m+n=\cfrac{1}{2}$ 到此，题目转化为已知$m+n=\cfrac{1}{2}$，$m >0，n >0$，求$ \cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。仿模型求解即可。

解后反思：注意正态分布的知识点的应用。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以函数在点处的切线斜率的形式给出 例15已知函数$f(x)=ax^2+bx(a>0，b>0)$的图像在点$(1，f(1))$处的切线的斜率为2，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

详解：由题目可知，$f'(1)=2a+b=2$，即已知$2a+b=2，a >0，b >0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值，仿模型求解。

解后反思：注意导数的几何意义。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以函数的性质的形式给出 例16已知函数$f(x)=2x-sinx$，若正实数$a，b$满足$f(a)+f(2b-1)=0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

详解：函数$f(x)$为奇函数，增函数，故$f(a)+f(2b-1)=0$，即$f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b)$，即转化为$a+2b=1$， 到此，转化为已知$a+2b=1$，$a>0，b>0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。

解后反思：注意抽象函数的性质的应用。 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件以隐含条件的形式给出 例17求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0< x <2)$的最小值。

详解：注意到隐含条件$x+(2-x)=2，x>0，2-x>0$，则容易看到题目其实为 已知$x+(2-x)=2$，$x >0，2-x >0$，求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0< x <2)$的最小值。 $f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}$ $=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2$ $=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]$ $=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})$， $\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})=\cfrac{9}{2}$， 当且仅当$\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}$且$0< x <2$时， 即$x=\cfrac{2}{3}$时取得等号。 故$f(x)$的最小值为$\cfrac{9}{2}$。 【引申】求$f(x)=\cfrac{x+1}{x}+\cfrac{6-x}{2-x}(0< x < 2)$的最小值。 分析：$f(x)=1+\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}+1$ $=2+\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}$

解后反思：此处相当于$x=a，2-x=b，a+b=2\;\;$，求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{4}{b}$ 静雅凤中$\;\cdot\;$学法指导 限定条件不直接给出+拼凑项 例18已知函数$f(x)=2x-sinx$，若正实数$a，b$满足$f(a)+f(2b-1)=0$，求$\cfrac{4}{a+1}+\cfrac{1}{2b+1}$的最小值。

详解：函数$f(x)$为奇函数，增函数，故$f(a)+f(2b-1)=0$，即$f(a)=-f(2b-1)=f(1-2b)$，即转化为$a+2b=1$， 到此，转化为已知$a+2b=1$，$a>0，b>0$，再变形为$(a+1)+(2b+1)=3$， 即最后转化为已知$(a+1)+(2b+1)=3$，$a>0，b>0$，求$\cfrac{4}{a+1}+\cfrac{1}{2b+1}$的最小值。

解后反思：本题目和例16相比较，仅仅多了一步拼凑系数的变形。

新题补充

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知函数\(f(x)=ln(x+1)+x^2-ax\)，其中\(0<a<1\)，若曲线\(y=f(x)\)在\((0，f(0))\)处的切线为\(y=bx\)，则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b}\)的最小值为【】

分析：由题目可知，\(f'(x)=\cfrac{1}{x+1}+2x-a\)，又\(f'(0)=b\)，即\(1-a=b\)，则有\(a+b=1\)，

则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b}=(a+b)(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{2b})=2+\cfrac{1}{2}+\cfrac{2b}{a}+\cfrac{a}{2b}\geqslant \cfrac{5}{2}+2=\cfrac{9}{2}\)，

当且仅当\(a=2b\)时取到等号，即\(a=\cfrac{2}{3}\)，\(b=\cfrac{1}{3}\)时取得等号。故选\(B\)。

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设\(O\)为坐标原点，第一象限内的点\(M(x，y)\)的坐标满足约束条件\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6\leqslant 0}\\{x-y+2\geqslant 0}\end{array}\right.\)，若\(z=ax+by(a>0,b>0)\)的最大值为\(80\)，则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值为_________。

分析：相当于已知\(4a+5b=40\)，求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值，提示：\(\cfrac{9}{40}+\cfrac{\sqrt{5}}{10}\)。

静雅凤中$\;\cdot\;$反思提升 解后反思：总结了以上的类型后，够不够用呢？

【模型1】：已知$2m+3n=2，m>0，n>0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式) 分析如下：$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots$ 【模型2】：已知$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0$，求 $2m+3n$的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式) 【对照1】：已知$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0$，求 $\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}$的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式) 【对照2】：已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求 $a^2+2b^2$的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值) 看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；