矩阵的初等变换，初等变换是一动作，有三种方式

1.交换两行

交换第一行和第二行

$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2&2 &2 \\ 3&3 &3 \end{bmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 2 &2 &2 \\ 1& 1 & 1\\ 3&3 &3 \end{bmatrix}$

2.用K乘某一行

设K=6，乘以第一行

$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2 &2 &2 \\ 3&3 &3 \end{bmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 6& 6 &6 \\ 2& 2 & 2\\ 3& 3 & 3 \end{bmatrix}$

3.某一行的L倍加到另一行

第一行的-3倍加到第三行

$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2 &2 &2 \\ 3& 3 &3 \end{bmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 2& 2 &2 \\ 0&0 &0 \end{bmatrix}$

行列式也有类似的变换：

1.行列式两行交换，要变号

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 2&2 &2 \\ 3 & 3 &3 \end{vmatrix}$ $\rightarrow$ - $\begin{vmatrix} 2 &2 &2 \\ 1 & 1 &1 \\ 3& 3 &3 \end{vmatrix}$

2。用K乘某一行等于K*行列式

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 2k& 2k &2k \\ 3& 3 &3 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow$ k* $\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 2 &2 &2 \\ 3& 3 &3 \end{vmatrix}$

何任一个矩阵可以通过初等变换化成标准型。

矩阵A通过初等变换后得到的矩阵B是等价的。

初等方阵

对E做一次初等变换得到的矩阵

交换两行

$\begin{vmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0 &1 \end{vmatrix}$ 交换1，3行后 $\begin{vmatrix} 0& 0& 1 &0 \\ 0& 1& 0 &0 \\ 1& 0& 0&0 \\ 0& 0& 0&1 \end{vmatrix}$ 交换单位矩阵E(i,j)

E(I,J)的逆是本身 $E^{-}$ (i,j)=E(i,j)

2.用k(k $\neq$ 0)乘某行

$\begin{vmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0 &1 \end{vmatrix}$ $\rightarrow$ *5 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0& 0 & 5 &0 \\ 0& 0 & 0 &1 \end{vmatrix}$

E(i,j)的逆是

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0& 1& 0 &0 \\ 0&0 &1/5 &0 \\ 0& 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

3.某行的第L倍加到另一行上去

L为5设

$\begin{vmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 0 &1 \end{vmatrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0& 1 &0 &0 \\ 5& 0& 1 &0 \\ 0& 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

$E^{-}$ (i,j*l)->E(i,j*-l)

方阵的逆是其

$\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 &1 & 0 &0 \\ -5& 0 &1& 0\\ 0& 0 & 0 &1 \end{bmatrix}$

三种初等方阵均可逆，

1.初等方阵均可逆，且其逆矩阵也是初等方阵

初等方阵的转置矩阵也是初等方阵

E(2(3)):表示单位方阵的第二行乘以3

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 3 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

E（1,3)表示1，3行进行交换

$\begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 & 1& 0\\ 1& 0 &0 \end{bmatrix}$

用一个初等方式去左乘A，相当于对A实施同等初等行变换

用一个初等方阵去右乘A，相当于对A实施同等初等列变换

A= $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7& 8 &9 \end{bmatrix}$

E的行乘以A的列,将值按行放

E(2(3))*A $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&3 &0 \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$ *A= $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 12& 15 &18 \\ 7& 8 &9 \end{bmatrix}$

A*E(2(3)) $\rightarrow$ A*E= $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 3\\ 4 &15 &6 \\ 7&24 & 9 \end{bmatrix}$

任意矩阵A可以通过初等变换化为标准形

如果AB等价 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵P,Q,使得PQA等于B。

何谓等价即A经过初等变换得到B。

A如果做初等行变换，则左乘初等矩阵。

如果做初等列变换，则右乘初等行变换。

矩阵ABC可逆，则它们相乘也可逆

A可逆， $\Leftrightarrow$ A的标准形为E

A可逆可以表现为一些初等矩阵的乘积

A左乘初等矩阵或者右乘初等矩阵等于单位阵

初等行变换法

（A,E)----->(只做行变换)---->(E, $A^{-}$ )

(A,E)= $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 2&1 &0 \\ -3&2 &-5 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

第一行*-2加到第二行

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0&1 &-2 \\ -3&2 &-5 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ -2& 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$

第一行*3加到第三行(把它们看成整体)

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0 \\ 0& 1 &-2 &-2 &1&0 \\ 0&2 &-2 &3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

第二行*-2加到第三行

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0 \\ 0& 1& -2 &-2 & 1 &0 \\ 0&0 &2 &7 &-2 &1 \end{bmatrix}$

第三行*1加到第二行

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0 \\ 0& 1 &0 &5 &-1 &1 \\ 0& 0 &2 &7 &-2 &1 \end{bmatrix}$

第三行* $-\frac{1}{2}$ 加到第一行

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-5/2 &1 &-1/2 \\ 0&1 &0 &5 &-1 &1 \\ 0& 0 & 2 &7 &-2 &1 \end{bmatrix}$

第三行再乘以1/2 可得

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &-5/2 &1 &-1/2 \\ 0&1 &0 &5 &-1 &1 \\ 0&0 &1 &7/2 &-1 &1/2 \end{bmatrix}$

即得 $A^{-}$ = $\begin{bmatrix} -5/2 &1 &-1/2 \\ 5& -1 &1 \\ 7&-2 &1 \end{bmatrix}$

这就是初等行变换法求逆矩阵

如下为不可逆的矩阵

A= $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 &9 \\ 4 &8 &18 \end{bmatrix}$

进行初等行变换

(A,E)= $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 &9 \\ 4 &8 &18 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 &1 \end{bmatrix}$

第二行乘-2加到第三行

然后第一行*-2加到第二行，得

$\Rightarrow$ $\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &1 &0 &0 \\ 0&0 &3 &-2 &1 &0 \\ 0& 0 &0 &0 &-2 &1 \end{bmatrix}$

你会发现第三行的左3列全为0，根本不可能变换成左3列成单位矩阵，说明A矩阵不可逆，A的行列式为0。

线性代数之初等变换(1)相关推荐

数学/线性代数 {矩阵初等变换,[阶梯形/最简形]矩阵,初等矩阵}
数学/线性代数 {矩阵初等变换,[阶梯形/最简形]矩阵,初等矩阵}; @LOC_COUNTER: 3; 矩阵的初等变换定义矩阵的初等变换和行列式的变换是完全一样的; . LINK: (http ...
线性代数【初等变换】
一.三种初等变换 1.交换两行 2.用k(k≠0)乘某一行 3.某一行的L倍加到另一行上去 *做初等变换要用箭头→,不能用等号= 二.矩阵化标准型任何矩阵通过初等变换可以化为标准型三.矩阵等价 A ...
第三章，矩阵，06-初等变换与初等矩阵
第三章,矩阵,06-初等变换与初等矩阵标准形初等行变换初等列变换初等变换行阶梯形矩阵行最简形标准形初等矩阵定义性质可逆等价矩阵相关定义行等价列等价等价性质定理1 定 ...
矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（1）——逆矩阵、（广义）初等变换、满秩分解
矩阵论专栏:专栏(文章按照顺序排序) 线性代数是矩阵论的先修课程,本篇博客整理线性代数的基础理论知识,为矩阵论的学习做准备.限于篇幅,梳理的重点将在定理和结论上(只给出部分必要的定义),对最基础的概念 ...
【线性代数复习笔记】同济大学版第三章和第四章矩阵的初等变换与线性方程组与向量组的线性相关性
[线性代数复习笔记]同济大学版第三章和第四章矩阵的初等变换与线性方程组与向量组的线性相关性 1.矩阵的初等变换矩阵的三种初等变换及性质行阶梯形矩阵矩阵的初等变换的性质 2.矩阵的秩矩阵的秩的 ...
矩阵的初等变换与线性方程组【线性代数系列（三）】
矩阵的初等变换与线性方程组[线性代数系列(三)] 文章目录 1.矩阵的初等变换 1.1 初等变换 1.2 等价关系 1.3 初等变换矩阵类型 1.3.1行阶梯矩阵 1.3.2 行最简型矩阵 1.3. ...
【线性代数】高斯消元法与矩阵的初等变换
上一篇:矩阵及其运算[写在前面的话]众所周知,线性代数在计算机应用方面也是比较广的(比如人工智能等前沿科技领域).所以...在CSDN记录线性代数的知识不为过吧,哈哈(//狗头保命).想要学线性代数的 ...
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换
文章目录前言往期文章 3.1 矩阵的初等变换定义等价具有的性质矩阵类型性质性质1 性质2 定理1 推论补充结语前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的 ...
线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式
以下均为个人理解,如有错误,请大佬指出,小生立马就改正. 线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式 1. 矩阵的初等变换 2. 行最简矩阵 2.1 矩阵的秩 3. 线性方程组的解 1. 矩阵的初等变换定 ...

线性代数之初等变换(1)

行列式也有类似的变换：

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 2&2 &2 \\ 3 & 3 &3 \end{vmatrix}$ $\rightarrow$ - $\begin{vmatrix} 2 &2 &2 \\ 1 & 1 &1 \\ 3& 3 &3 \end{vmatrix}$

初等行变换法

线性代数之初等变换(1)相关推荐

最新文章

热门文章