上一篇:矩阵及其运算【写在前面的话】众所周知，线性代数在计算机应用方面也是比较广的（比如人工智能等前沿科技领域）。所以...在CSDN记录线性代数的知识不为过吧，哈哈（//狗头保命）。想要学线性代数的小伙伴可以跟随我的脚步一起学习一下。（坚持每天至少发一篇）话不多说，我们直接开始。目录1.1矩阵及其运算一，矩阵的概念二，矩阵的线性运算三，矩阵的乘法四，矩阵的转置五，习题1.1一，矩阵的概念我们先来看一下书上关于 ..https://blog.csdn.net/weixin_51781852/article/details/122504791?spm=1001.2014.3001.5501

一，高斯消元法

二，矩阵的初等变换

三，初等矩阵

对于一般线性方程组，我们要讨论的问题是：它在什么条件下有解？如果有解，有多少解？又如何求出其全部解？所谓解方程组，就是当方程组有解时求出它的全部解，当它无解时判明它无解。

一，高斯消元法

高斯消元法的目的：解多元方程

高斯消元法的解题过程：反复施行初等变换

那么，什么是初等变换？初等变换可以归纳为以下的三种变换：

1）交换两个方程的位置

2）用一个非零数乘某一个方程

3）把一个方程的适当倍数加到另一个方程上去

我们来举一个例子来说明：

例1 解线性方程组

解：将方程组中的第一个与第三个方程交换位置(用上述第一种变换），得方程组

将方程组的第一个方程的-1倍加到第二个方程，然后将第一个方程的-3倍加到第三个方程(用上述第二种变换），得方程组

再将方程组中第二个方程组的-5倍加到第三个方程（用上述第三种变换），得方程组

这就是高斯消元的过程，于是得方程组的唯一解为

二，矩阵的初等变换

看如下线性方程组

我们可以将方程组的系数与常数项用矩阵来表示，整个消元的过程都可在矩阵上进行，为此，我们引入了矩阵的初等变换的概念。

矩阵的行（列）初等变换指对矩阵施以下列三种变换：

1）交换两行（列）的位置

2）用一非零数乘某一行（列）的所有元

3）把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去

我们来举个例子说明

先解例1的方程组

对增广矩阵施以行初等变换：

于是得原方程组的解为：

这里需要解释一下：为了计算方便，用表示矩阵的第i行，交换i,j两行，记为数K乘第i行，记为。

若一个矩阵每个非零行的非零首元都出现在上一行非零首元的右边，同时没有一个非零首元出现在零行之下，则称这种矩阵为行阶梯形矩阵。若行阶梯形矩阵的每一个非零行的非零首元都是1，且非零首元所在列的其余元都为0，则称这种矩阵为简化行阶梯形矩阵。例如下面两个矩阵都是行阶梯形矩阵：

且A为简化行阶梯形矩阵，而B不是简化行阶梯形矩阵

显然，用有限次行初等变换可以吧任何矩阵化为一个简化行阶梯形矩阵，并且所得到的简化行阶梯形矩阵是唯一的。

为了作一般的讨论，不妨假设化为如下的简化行阶梯形矩阵：

由矩阵易知：方程组有解的充要条件是.这是因为当时，r+1行对应的方程是无解的.

当 .时，即在有解的情况下，又分两种情况：

（1）当r=n时，有唯一解

（2）当r<n时，有无穷多个解

将上述结果总结为如下定理：

定理1 设n元非齐次方程组AX=b，对它的增广矩阵施以行初等变换，得到简化行阶梯形矩阵，若，则方程无解；若，则方程有解，而且当r=n时有唯一解，当r<n时有无穷多解

需要注意的是：用不同的消元步骤，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵时，行阶梯形矩阵的形式不是唯一的，但行阶梯形矩阵的非零行的行数是唯一确定的，当方程有解时，表明解中任意常数的个数是相同的，但解的表达式不是唯一的，然而每一种解的表达式中，包含的无穷解的集合又是相等的

定理2 设m个n元方程组成的齐次线性方程组AX=0，若m<n,则方程组必有非零解。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作。若使用的是行（列）初等变换，则称A与B行（列）等价。

矩阵的等价关系具有：

1）反身性

2)对称性若,则

3)传递性若则

三，初等矩阵

我们可以把矩阵的初等变换表示为矩阵的乘法运算。

比如：设,则

由此可见，等式右边等价于分别使A作了三种行初等变换（第1，2行交换；第2行乘c;第1行乘c加到第3行）。这三个三阶矩阵本身又是单位矩阵作同样的行初等变换而得到的，它们称为初等矩阵。上面三个式子表明A的行初等变换可以表示成相应的初等矩阵左乘A的运算，下面给出初等矩阵的一般定义。

定义2 将单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

由矩阵乘法定义可得如下定理

定理3 对一个m×n矩阵A作一次行初等变换就相当于在A的左边乘上相应的m×m初等矩阵；对A作一次列初等变换就相当于在A的右边乘上相应的n×m初等矩阵

应用实例一：卷积

应用实例二：计算机断层成像

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