1. 分式规划例子

在数学规划问题中，若目标函数为分式函数，且约束条件中的函数是线性的，则称线性规划分式规划，简称分式规划。
分式规划通常可表示为如下形式：
min⁡pTx+αqTx+βs.t.{Ax≤b,x≥0.\min \frac{\bm{p}^\text{T}\bm{x} + \alpha}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta} \\ \text{s.t.} \begin{cases} \bm{Ax} \leq \bm{b}, \\ \bm{x} \geq \bm{0}. \\ \end{cases} minqTx+βpTx+αs.t.{Ax≤b,x≥0.
其中，α\alphaα，β\betaβ 为常数；p\bm{p}p，q\bm{q}q 为 nnn 维列向量；A\bm{A}A 为 m×nm \times nm×n 阶矩阵。

这一类问题有类似于线性规划问题的极好的性质。

若分式规划问题存在最优解，则最优解可在可行域顶点上达到。
任一局部极小值即全局极小值。

由 Charnes 和 Cooper 于 1962 年提出的用单纯刑法求解分式规划问题的方法：
设集合上 S={x∈Rn∣Ax≤b,b≥0}S = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \bm{Ax} \leq \bm{b}, \bm{b} \geq \bm{0} \}S={x∈Rn∣Ax≤b,b≥0} 是有界闭集，且对 ∀x∈S\forall \bm{x} \in S∀x∈S，有 qTx+β>0\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta > 0qTx+β>0。引入新变量 zzz，令 z=1qTx+βz = \frac{1}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta}z=qTx+β1，y=zx\bm{y} = z \bm{x}y=zx，则以上模型可转化为线性规划模型：
min⁡pTy+αzs.t.{Ay−bz≤0,qTy+βz=1,y≥0,z≥0.\min \bm{p}^\text{T}\bm{y} + \alpha z \\ \text{s.t.} \begin{cases} \bm{Ay} - \bm{b}z \leq 0, \\ \bm{q}^\text{T}\bm{y} + \beta z = 1, \\ \bm{y} \geq 0, z \geq 0. \\ \end{cases} minpTy+αzs.t.⎩⎪⎨⎪⎧Ay−bz≤0,qTy+βz=1,y≥0,z≥0.
至此，可用单纯形法来求解此规划，并最终得到原分式规划的最优解。

原分式 pTx+αqTx+β\frac{\bm{p}^\text{T}\bm{x} + \alpha}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta}qTx+βpTx+α 转化为
pTx+αqTx+β=pTxqTx+β+αqTx+β=pTxz+αz=pTy+αz.\begin{aligned} \frac{\bm{p}^\text{T}\bm{x} + \alpha}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta} &= \frac{\bm{p}^\text{T}\bm{x}}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta} + \frac{\alpha}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta} \\ & = \bm{p}^\text{T} \bm{x} z + \alpha z \\ & = \bm{p}^\text{T} \bm{y} + \alpha z. \\ \end{aligned} qTx+βpTx+α=qTx+βpTx+qTx+βα=pTxz+αz=pTy+αz.

原约束 Ax≤b\bm{Ax} \leq \bm{b}Ax≤b 转化为：
Ax≤bAyz≤bAy≤bzAy−bz≤0\begin{aligned} \bm{Ax} & \leq \bm{b} \\ \bm{A}\frac{\bm{y}}{z} & \leq \bm{b} \\ \bm{Ay} &\leq \bm{b} z \\ \bm{Ay} - \bm{b}z & \leq 0 \\ \end{aligned} AxAzyAyAy−bz≤b≤b≤bz≤0

z=1qTx+βz = \frac{1}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta}z=qTx+β1 转化为：
z(qTx+β)=1qTzx+βz=1qTy+βz=1\begin{aligned} z (\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta) & = 1 \\ \bm{q}^\text{T} z \bm{x} + \beta z & = 1 \\ \bm{q}^\text{T} \bm{y} + \beta z & = 1 \\ \end{aligned} z(qTx+β)qTzx+βzqTy+βz=1=1=1

2. 分式规划例题

例求解下列分式规划：
min⁡−2x1+x2+2x1+3x2+4s.t.{−x1+x2≤4,2x1+x2≤14,x2≤6,x1≥0,x2≥0.\min \frac{-2x_1 + x_2 + 2}{x_1 + 3x_2 + 4} \\ \text{s.t.} \begin{cases} -x_1 + x_2 \leq 4, \\ 2x_1 + x_2 \leq 14, \\ x_2 \leq 6, \\ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0. \\ \end{cases} minx1+3x2+4−2x1+x2+2s.t.⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧−x1+x2≤4,2x1+x2≤14,x2≤6,x1≥0,x2≥0.

解令 z=1x1+3x2+4z = \frac{1}{x_1 + 3x_2 + 4}z=x1+3x2+41，y=zx\bm{y} = z\bm{x}y=zx，则原分式规划问题可转化为如下等价的线性规划模型：

A=[−112101],b=[4146],y=[y1y2],p=[−21],q=[13],α=2,β=4.\bm{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}, \bm{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 14 \\ 6 \\ \end{bmatrix}, \bm{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix}, \bm{p} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}, \bm{q} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}, \\ \alpha = 2, \beta = 4. A=⎣⎡−120111⎦⎤,b=⎣⎡4146⎦⎤,y=[y1y2],p=[−21],q=[13],α=2,β=4.

pTy+αz=−2y1+y2+2zAy−bz≤0→−y1+y2−4z≤02y1+y2−14z≤0y2−6z≤0qTy+βz=1→y1+3y2+4z=1\bm{p}^\text{T} \bm{y} + \alpha z = -2 y_1 + y_2 + 2z \\ \bm{Ay} - \bm{b} z \leq 0 \rightarrow \\ -y_1 + y_2 - 4 z \leq 0 \\ 2y_1 + y_2 - 14 z \leq 0 \\ y_2 - 6 z \leq 0 \\ \bm{q}^\text{T} \bm{y} + \beta z = 1 \rightarrow \\ y_1 + 3y_2 + 4z = 1 \\ pTy+αz=−2y1+y2+2zAy−bz≤0→−y1+y2−4z≤02y1+y2−14z≤0y2−6z≤0qTy+βz=1→y1+3y2+4z=1

min⁡−2y1+y2+2zs.t.{−y1+y2−4z≤02y1+y2−14z≤0y2−6z≤0y1+3y2+4z=1y1≥0,y2≥0,z≥0.\min -2y_1 + y_2 + 2z \\ \text{s.t.} \begin{cases} -y_1 + y_2 - 4z \leq 0 \\ 2y_1 + y_2- 14z \leq 0 \\ y_2 - 6z \leq 0 \\ y_1 + 3y_2 + 4z = 1 \\ y_1 \geq 0, y_2 \geq 0, z \geq 0. \\ \end{cases} min−2y1+y2+2zs.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−y1+y2−4z≤02y1+y2−14z≤0y2−6z≤0y1+3y2+4z=1y1≥0,y2≥0,z≥0.

首先化成标准型：
min⁡w=−2y1+y2+2zmax⁡(−w)=2y1−y2−2z−My6s.t.{−y1+y2−4z+y3=0,2y1+y2−14z+y4=0,y2−6z+y5=0,y1+3y2+4z+y6=1,yj≥0,z≥0.\min w = -2y_1 + y_2 + 2z \\ \max (-w) = 2y_1 - y_2 - 2z - M y_6 \\ \text{s.t.} \begin{cases} -y_1 + y_2 - 4z + y_3 = 0, \\ 2y_1 + y_2 - 14z + y_4 = 0, \\ y_2 - 6z + y_5 = 0, \\ y_1 + 3y_2 + 4z + y_6 = 1, \\ y_j \geq 0, z \geq 0. \\ \end{cases} minw=−2y1+y2+2zmax(−w)=2y1−y2−2z−My6s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−y1+y2−4z+y3=0,2y1+y2−14z+y4=0,y2−6z+y5=0,y1+3y2+4z+y6=1,yj≥0,z≥0.

初始单纯形表：

.	y1y_1y1	y2y_2y2	y3y_3y3	y4y_4y4	y5y_5y5	y6y_6y6	z	右边
.	-2-M	1-3M	0	0	0	0	2-4M	-M
y3y_3y3	-1	1	1	0	0	0	-4	0
y4y_4y4	2	1	0	1	0	0	-14	0
y5y_5y5	0	1	0	0	1	0	-6	0
y6y_6y6	1	3	0	0	0	1	4	1

最优单纯形表：

.	y1y_1y1	y2y_2y2	y3y_3y3	y4y_4y4	y5y_5y5	y6y_6y6	z	右边
.	0	5211\frac{52}{11}1152	0	511\frac{5}{11}115	0	M+1211M+\frac{12}{11}M+1112	0	1211\frac{12}{11}1112
y3y_3y3	0	4	1	0	0	1	0	1
y1y_1y1	1	2311\frac{23}{11}1123	0	211\frac{2}{11}112	0	711\frac{7}{11}117	0	711\frac{7}{11}117
y5y_5y5	0	1511\frac{15}{11}1115	0	−311-\frac{3}{11}−113	1	611\frac{6}{11}116	0	611\frac{6}{11}116
zzz	0	522\frac{5}{22}225	0	122\frac{1}{22}221	0	111\frac{1}{11}111	1	111\frac{1}{11}111

故：y1=711y_1 = \frac{7}{11}y1=117，y2=0y_2 = 0y2=0，z=111z = \frac{1}{11}z=111 是以上线性规划模型的最优解。
故原分式规划的最优解为 x1=y1z=7x_1 = \frac{y_1}{z} = 7x1=zy1=7，x2=y2z=0x_2 = \frac{y_2}{z} = 0x2=zy2=0。

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