算法导论 — 思考题8-6 合并有序列表的下界

（合并有序列表的下界）合并两个有序列表是我们经常会遇到的问题。作为MERGE-SORT的一个子过程，我们在2.3.1节中已经遇到过这一问题。对这一问题，我们将证明在最坏情况下，合并两个都包含nnn个元素的有序列表所需的比较次数的下界是2n−12n−12n−1。
　　首先，利用决策树来说明比较次数有一个下界2n−o(n)2n−o(n)2n−o(n)。
　　a. 给定2n2n2n个数，请算出共有多少种可能的方式将它们划分成两个有序的列表，其中每个列表都包含nnn个数。
　　b. 利用决策树和(a)的答案，证明：任何能够正确合并两个有序列表的算法都至少要进行2n−o(n)2n−o(n)2n−o(n)次比较。
　　现在我们来给出一个更紧确界2n−12n−12n−1。
　　c. 请说明：如果两个元素在有序序列中是连续的，且它们分别来自不同的列表，则它们必须进行比较。
　　d. 利用你对上一部分的回答，说明合并两个有序列表时的比较次数下界为2n−12n−12n−1。
　　
　　解
　　a.
　　题目问的是有多少种方式将2n2n2n个数划分成两个都包含nnn个数的有序的列表。实际上题目可以转化为求取有多少种方式将2n2n2n个数分成两组，每组都有nnn个数。因为，只要分组确定了，每组都只有一种可能的排序。根据排列组合原理，分组方式一共有C2nn=(2n)!/(n!∙(2n−n)!)=(2n)!/(n!∙n!)C_{2n}^n=(2n)!/(n!∙(2n-n)!)=(2n)!/(n!∙n!)C2nn=(2n)!/(n!∙(2n−n)!)=(2n)!/(n!∙n!)种。
　　
　　b.
　　为了表示合并两个有序列表的决策树是什么样的，我们举个简单的例子。假设要合并的两个有序列表都包含222个元素，分别为<a,b><a, b><a,b>和<c,d><c, d><c,d>，其中a≤ba ≤ ba≤b并且c≤dc ≤ dc≤d。合并这两个序列的决策树如下图所示。
　　
　　在决策树中，每个叶结点都是合并后可能的序列，每个非叶结点表示一次比较。上图决策树中，一共有6个叶结点，这符合a的结论，因为C42=6C_4^2=6C42=6。
　　根据a的结论，对于合并两个都包含nnn个元素的有序序列的问题，它的决策树包含(2n)!/(n!∙n!)(2n)!/(n!∙n!)(2n)!/(n!∙n!)个叶结点。假设该决策树的高度为hhh，那么它最多包含2h2^h2h个叶结点。于是有
　　　　(2n)!(n!∙n!)≤2h\frac{(2n)!}{(n!∙n!)} ≤ 2^h(n!∙n!)(2n)!≤2h
　　对该不等式两边取对数，得到
　　　　h≥lg(2n)!(n!∙n!)=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)h ≥ {\rm lg}\frac{(2n)!}{(n!∙n!)} = {\rm lg}⁡((2n)!) - 2{\rm lg}⁡(n!)h≥lg(n!∙n!)(2n)!=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)
　　令f(n)=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)f(n) = {\rm lg}⁡((2n)!) - 2{\rm lg}⁡(n!)f(n)=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)，有
　　　　f(n)=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)=∑i=12nlgi−2∙∑i=1nlgi=∑i=22nlgi−2∙∑i=1n−1lgi−2lgnf(n) = {\rm lg}⁡((2n)!) - 2{\rm lg}⁡(n!) = \sum\limits_{i=1}^{2n}{{\rm lg}i} - 2∙\sum\limits_{i=1}^{n}{{\rm lg}i} = \sum\limits_{i=2}^{2n}{{\rm lg}i} - 2∙\sum\limits_{i=1}^{n-1}{{\rm lg}i} - 2{\rm lg}nf(n)=lg⁡((2n)!)−2lg⁡(n!)=i=1∑2nlgi−2∙i=1∑nlgi=i=2∑2nlgi−2∙i=1∑n−1lgi−2lgn
　　直接对对数求和不方便，可以采用积分近似求和的方法（参考《算法导论》附录A.2）。于是有
　　
　　根据以上分析，可以得到决策树的高度h≥2n–o(n)h ≥ 2n–o(n)h≥2n–o(n)。这也证明了任何能够正确合并两个有序列表的算法都至少要进行2n−o(n)2n−o(n)2n−o(n)次比较。

c.
　　简要说明一下。假设有两个待合并的有序序列<A1,A2,…,An><A_1, A_2, …, A_n><A1,A2,…,An>和<B1,B2,…,Bn><B_1, B_2, …, B_n><B1,B2,…,Bn>，我们现在要确定两个元素AiA_iAi和BjB_jBj的次序。为简化分析，假设所有元素都不相等。确定二者的次序只有两种方法：
　　(1) 二者直接比较：Ai<BjA_i < B_jAi<Bj或者Ai>BjA_i > B_jAi>Bj。
　　(2) 通过其他元素间接比较：Ai<x<BjA_i < x < B_jAi<x<Bj或者Ai>x>BjA_i > x > B_jAi>x>Bj，以及Ai<x<…<y<BjA_i < x < … < y < B_jAi<x<…<y<Bj或者Ai>x>…>y>BjA_i > x > … > y > B_jAi>x>…>y>Bj，
　　如果通过第(2)种方式，那么说明至少存在一个元素xxx，使得Ai<x<BjA_i < x < B_jAi<x<Bj或者Ai>x>BjA_i > x > B_jAi>x>Bj成立，所以AiA_iAi和BjB_jBj肯定不相邻，因为二者之间至少间隔一个元素xxx。反过来，如果AiA_iAi和BjB_jBj相邻，说明肯定不存在这样的元素xxx，使得Ai<x<BjA_i < x < B_jAi<x<Bj或者Ai>x>BjA_i > x > B_jAi>x>Bj成立。这说明，如果AiA_iAi和BjB_jBj相邻，只能通过第(1)种方式来确定二者的次序，即二者直接比较。
　　多提一句，在排序问题中，如果在排序后的序列中两个元素相邻，那么二者也必须进行直接比较，原因与上面是一样的。

d.
　　注意，本题要证明的是：在最坏情况下，合并两个有序列表时的比较次数的下界为2n−12n−12n−1。
　　利用c的结论，如果有两个来自不同序列的元素，并且二者在合并后的序列中相邻，那么二者必须进行直接比较。我们只需要统计在合并后的序列中，有多少对相邻的元素来自不同的序列，就可以知道合并过程中至少需要比较多少次。
　　假设有两个待合并的有序序列<A1,A2,…,An><A_1, A_2, …, A_n><A1,A2,…,An>和<B1,B2,…,Bn><B_1, B_2, …, B_n><B1,B2,…,Bn>。最好的情况是合并后的序列中只有111对相邻的元素来自不同的序列，比如<A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bn><A_1, A_2, …, A_n, B_1, B_2, …, B_n><A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bn>，只有一对相邻元素AnA_nAn和B1B_1B1，二者来自不同的序列。因此，最好情况下，至少只需要比较一次。
　　而最坏情况发生在合并之后，任意两个相邻的元素都来自不同的序列，比如<A1,B1,A2,B2,…,An,Bn><A_1, B_1, A_2, B_2, …, A_n, B_n><A1,B1,A2,B2,…,An,Bn>。合并后的序列一共有2n2n2n个元素，相邻的元素一共有2n−12n−12n−1对。其中每一对相邻的元素都来自不同的序列，那么合并过程至少需要比较2n−12n−12n−1次。因此在最坏情况下，合并两个有序列表时的比较次数的下界为2n−12n−12n−1。

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