算法导论 — 思考题15-10 投资策略规划

（投资策略规划）你所掌握的算法知识帮助你从Acme计算机公司获得了一份令人兴奋的工作，签约奖金1万美元。你决定利用这笔钱进行投资，目标是10年后获得最大回报。你决定请Amalgamated投资公司管理你的投资，该公司的投资回报规则如下。该公司提供nnn种不同的投资产品，从111~nnn编号。在第jjj年，第iii种投资产品的回报率为rijr_{ij}rij。换句话说，如果你在第jjj年在第iii种投资产品投入ddd美元，那么在第jjj年年底，你会得到d⋅rijd·r_{ij}d⋅rij美元。回报率是有保证的，即未来10年每种投资产品的回报率均已知。你每年只能做出一次投资决定。在每年年底，你既可以将钱继续投入到上一年选择的投资产品中，也可以转移到其他投资产品中（转移到已有的投资产品，或者新的投资产品）。如果跨年时你不做投资转移，需要支付f1f_1f1美元的费用。否则，需要支付f2f_2f2美元的费用，其中f2>f1f_2 > f_1f2>f1。
　　a. 如上所述，本问题允许你每年将钱投入到多种投资产品中。证明：存在最优投资策略，每年都将所有钱投入到单一投资产品中（记住最优投资策略只需最大化10年的回报，无需关心任何其他目标，如最小化风险）。
　　b. 证明：规划最优投资策略问题具有最优子结构性质。
　　c. 设计最优投资策略规划算法，分析算法时间复杂度。
　　d. 假定Amalgamated投资公司在上述规则上又加入了新的限制条款，在任何时刻你都不能在任何单一投资产品中投入15000美元以上。证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质。
　　
　　解
　　a.
　　这里做一个简要的说明，分三种情况。
　　(1) 每一年都做投资转移的情况
　　这种情况下，显然每一年都应当选择回报率最大的那一款投资产品，才能使得10年总收益最大化。这里假设了每一年回报率最大的投资产品都不一样。
　　(2) 每一年都不做投资转移的情况
　　假设每年都选择固定的一种投资产品。选择第1种投资产品的10年总收益为E1E_1E1，选择第2种投资产品的10年总收益为E2E_2E2，… …，选择第nnn种投资产品的10年总收益为EnE_nEn。如果选择的是两种投资产品k1k1k1和k2k2k2，那么10年总收益必然是Ek1E_{k1}Ek1与Ek2E_{k2}Ek2的加权和，不会超过Ek1E_{k1}Ek1与Ek2E_{k2}Ek2中的较大者。因此，每年只选择一种投资产品所获得的总收益，不会比选择多种投资产品所获得的总收益要少。故在每一年都不做投资转移的情况下，每年只选择一种投资产品可以得到最大化收益。
　　(3) 某些年份做投资转移，某些年份不做投资转移
　　如果将连续不做投资转移的年份看做一个子问题，那么这个子问题属于情况(2)，在这些连续的年份之中都只选择一种投资产品，可以得到这个子问题的最大化收益。
　　再将连续不做投资转移的年份合并为一个整体，我们可以将这个整体也当做一年。这样每一处有连续不做投资转移的年份都看做是一年。现在来看整个问题，其中的每一年都做了投资转移，这属于情况(1)。每一年都选择单一的投资产品也可得到最大化收益。
　　综上所述，无论做不做投资转移，在每一年都选择单一的投资产品，10年后可以得到最大化收益。
　　
　　b.
　　用e[i,j]e[i, j]e[i,j]表示在第jjj年选择第iii种投资产品的前提下，前jjj年总的最大化收益。分析e[i,j]e[i, j]e[i,j]需要考虑两种情况：
　　1) 第jjj年不做投资转移
　　这种情况下，第j−1j-1j−1年也必须选择第iii种投资产品。此时e1[i,j]=(e[i,j−1]−f1)⋅rije_1[i, j] = (e[i, j-1] - f_1) · r_{ij}e1[i,j]=(e[i,j−1]−f1)⋅rij。
　　2) 第jjj年做了投资转移
　　这种情况下，第j−1j-1j−1年可以选择除iii种之外的其他任意一种投资产品，显然我们要从中选择使得前j−1j-1j−1年总收益最大的那种投资产品。故e2[i,j]=max1≤k≤n且k≠i{(e[k,j−1]−f2)⋅rij}e_2 [i,j]=max_{1≤k≤n且k≠i} \left\{(e[k,j-1]-f_2) · r_{ij}\right\}e2[i,j]=max1≤k≤n且k̸=i{(e[k,j−1]−f2)⋅rij}。
　　综合以上两种情况，e[i,j]e[i, j]e[i,j]应当取二者中的较大值，即e[i,j]=max{e1[i,j],e2[i,j]}e[i, j] = max\left\{e_1[i, j], e_2[i, j]\right\}e[i,j]=max{e1[i,j],e2[i,j]}。我们还需用一个数组p[i,j]p[i, j]p[i,j]来保存第j−1j-1j−1年选择哪种投资产品。
　　从以上分析可以看出，规划最优投资策略问题具有最优子结构。因为求解第jjj年的最大化收益，依赖于第j−1j-1j−1年的最大化收益。
　　
　　c.
　　
　　该算法主要由一个3重循环构成，很容易得出它的时间复杂度为O(Mn2)O(Mn^2)O(Mn2)。这里的MMM指的是总的年数，题目中为10年。
　　
　　d.
　　略
　　
　　本题相关的code链接。
　　https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter15/Problems/Problem_15-10

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