伽罗华理论基础_刘长安.pdf_(12)(123)(14)不相交的乘积,8.将10次置换表互不相交的循环置换的乘积,并且求出。的逆与。的阶-教育文档类资源

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抽象代数

伽罗瓦理论

本书是抽象代数伽罗瓦理论(也称伽罗华理论)部分内容，本书是作者在河北师范大学讲课成立而成的讲义。该PDF版本是影印版，较为清晰，方便查阅。

目

录

第一章群论的初步知识………………………(1)

s1·1群的基木概念…

………………(1)

81·2置换群

(6)

§1·3同态和同构定理…

…(14)

81·4正规群列与合成群列

晉晋■·p晶■4●鲁自

(17)

§1·5可解群

……………(23)

§1·6可迁群

(28)

第二章域、扩域…

(32)

§2·1域的基本概念

32)

§2·2有限扩域、代数扩域……………………(41)

§2·3多项式的分裂域…………"…"(54)

§2·4有限可分扩域的单纯性……

(61)

§25有限域…………………(66)

第三章伽罗华理论初步………………………(73)

§3·1正规扩域·

………………………〔73)

§3·2伽罗华群………………………(78)

833方程的伽罗华群………………(85)

§34伽罗华理论的基本定理

93)

第四章侧罗华理论的应用

103)

§4·1单位根和循环扩域

(103)

§4·2方程可用根号解的充要条件…………(107)

§43不能用根号解的方程的例子………………(115

84·4三次方程和它的不可约情形…………118)

§4“5尺规作图…………

………125)

4“6分圆多项式和正n边形作图…………………(133)

附:习题答案……………………………………………(145)

第一章群论的初步知识

为了研究伽罗华理论。需要对群论的有关内容进行讨

论。本章对群的基本概念作一概括介绍。着重讨论置换群、

可解群、可迁群等

§1·1群的基本概念

1·1·1定义一个具有叫做系法的代数运算的非空集合

G叫做一个群,若是以下条件被满足:

1)乘法满足绪合律:即对于￠中任意元素a、b、c来

说,都有

ab=a(bc)。

2)存在一个元素e∈G,对于任意a∈G,均有

aerea=as

把具有上述性质的e叫做G的单位元。

3)对于任意元素a∈G,存在一个元素a1∈G,具有性

质

aa=a·g=已y

把具有上述性质的a-1,叫做a的逆元。

不难证明,群G的单位元和G中每一个元素a的逆元是唯

的。

如果群G的代数运算还满足交换律,那么就把G叫儆

个可换群或阿贝尔(Abe1)群。

如果一个群G只含有限个元素,则称G为有限群,元素

的个数称为G的阶,记为|Gl。

设a是群G的一个元素,能使

的最小正整数m称为a的阶若这样的m不存在,则称a是无

限阶的。

112定义群G的一个子集H叫儆G的一个子群,假

如H对G的乘法来说作成一个群,记为H≤G

个群G的一个非空子集玨作成G的一个子群的充要条件

是

a;b∈H→mb-1EH

若群G中的每个元素都是G中某个固定元素a的整数方幂

,则称G是由a生成的猜环群,记为G=(a)。此时,称a是

G的一个生成元。由无限阶元生成的循环群称为无限循环

群。否则,称为有限阶循环群。

显然,循环群的子群仍为循环群

对群G的任意两个子集合A,B,规定

AB=(abla∈A,b∈B}

称为A与B的乘积,易知这种群子集的乘法满足结合律。

113定理设A和B是群G的子群,那么,AB是G的子

群当且仅当AB=BA成立

证明假定AB≤G,任取ba∈BA,由A≤GB≤G→

a=1b-4∈AB,因而(ab1)1=ba∈AB所以 BASAB再由

AB≤G,AB的任一元有形式ab=(ab)1)1。但AB的任一

元ab的逆元(ab)1=b1a-1∈BA,所以 ABCBA。故AB=

BAy

反之,假定AB=BA,对任a1b1a2b2∈AB,我们有

(a1b1)(a2b2)1=a1(b1b2a21)=a1a3b=ab∈AB.所以

AB≤G

1·14定义设H是群G的一个子群,且x∈G

Hx={hx|k∈H}和xH={xhhE}

分别称为H在G中的右陪集和左陪集。

1·1°5定理群G中子群H的任意两个右(左)陪集,或

者不相交,或者恒同、且Hx=Hy令>xy-1∈H,当G的右陪

集的个数有限时,G可分解为

G=HUHx2U…UHx

这里代表H在G中右陪集的个数,当G的右陪集的个数无限

时,我们也形式地写为G=UHx

H在G中的诸左陪集和诸右陪集有相同的基数v,称v为

H在G中的指数,记为v=|G:H。

由以上事实及理和Hx有相同基数便得

1·1~ Lagrange定理设G为有限群,H≤G,则

!G|=|G:H|H

特别地,|H和G:H都是|G的因子

1·17定义群G的一个子群N叫做一个不变子群,如

果对于G的每一元a来说,都有Na=aN,用N

的不变子群。

1·]8定理设G是一个群,下列三个条件等价:

1)N是G的不变子群y

2)a∈G,nN→amua-1∈N;

3)对于G中的每个元素a都有aNa-1=N

一个群至少有两个不变子群,一个是它自身,一个是单

位元群,它们称为平凡不变子群。

11·9定义不含非平凡不变子群的群,叫做单纯群,

筒称单群。

显然,单位元群和阶数为素数的群,都是单群。对于可

换群,我们有

11·10定理可换群G为单群的充要条件是G的阶为1

或是一个素数。

证明充分性是显然的。现在证明必要性。设G是无限

群。取a∈G,且a与e,若a的阶有限,则H=(a)就是G的

个非乎凡不变子群。若a的阶无限,则理=(a2)就是G的一个

非平凡不变子群,故羌限阶的可换群皆不是单群

设G为有限群,且设阶为合数n,取a∈G且ae,若a的

阶为m

若a阶m=n,则G=(a)因为为合数,可设m=n1,而

1

平凡不变子群。故阶为合数的有限可换群也不是单群

非可换单群的例子,我们将在§1·2中给出。

下面我们介绍夫轭类的概念。

a~b,如果在G中存在元素x使得b二邓、论

1·1·1]定义群G中两个元素a,b称为共轭的,记为

共糖关系具有以下性质:

1)反身性:a~a,a为G中任意元

2)对称性:a~b→>b~ay

3)传递性;a~b,b~c→a~c

由此可见,共轭关系是一个等价关系,从而一个群可以

按共狐分为共扼类。

设a∈G,由a所决定的共范类记为

S={xax-1|a为G中一个固定元,Ⅴx∈G}易得

11°8中(2)的一个等价说法:

N是G的不变子群的充分必要条件是:若a∈N,则SSN

(S表示a在G中的共轭类)

若令

za={x∈G|xa=ax},Z={x∈Glxa=axya∈G}

易见z和Z都是G的子群,称z为a在G中的中心化子,Z为G

的中心

11-12定理Sa所含元素的个数等于z在G中的指数。

证明令表示z在G中左陪集的集合,定义

∫:Sa-L

X

lynx.

我们有xx1=yay-1→(y-lx)a=a(y-1x)-1→

y2x∈z→xz=yz,所以∫是S到工的一个映射,易证∫

是单射和满射,因此有

Sa|=|G:zad。

设|G=m,那么|G:zlm,从而S的元素的个数是

m的因子,因此有

1113推论设G为有限群,其阶为m,那么每一共轭

类中元素的个数是m的因子

设群G中心z的阶为z,除Z外G共有个共轭类S1,S2,

°,S;且S;所含元萦个数为a,则有

(1)

m=z+d1+…+dr

易见,如果G悬非交换群,则a1,且d;|m。

如果群G的阶为p",这里p是素数,则称G是一个p群

我们有以下

1·1·14定理设G是p群,则G的中心Z{e}

证明设G的阶m=p",由1)可知m与a;(=1,2,

r),都被p整除,所以p|z,从而z>1,即Z÷{e}

习题

1设A是群G的子集,A-1={ax|aEA}证明:若A,B为群G

的子集,则(AB)-1=B-1A-

2.设G是有限群,且A≤G,B≤G。证明:

[AB

JALJBE

1A∩B

3。证明指数为2的子群必为不变子群。

4。设G是群,A

VyeB等式xy=yx成立

5。设P为素数,试证:P元群为可换群

s1。2

换群

这一节主要介绍置换群的基本概念和n次交代群的单性。

置换群悬最重要的群,因为所有的有限群都可以用之表示。

在研究伽罗华理论时,置换群更占有重要地位

我们知道,一个包含个元素的集合上的全体置换对置

换乘法作成一个群叫做n次对称群,记为SSn的每一个元

萦叫做一个n级置换,一般记为

12…·v

2

容易证明,|S!=n!

下面介绍一种简单的表示置换的方法,先约定一个记号

(a1a2…am)=

日且a2…m-tgmm+是gn

,(m≤n),

2a3

6

(a1a2…am)叫做m=循环置换,简称m-循环。例如5级置换

12345

12345

(14523),

(154)

43152

52314

分别是5-循环和3-循环而

12345

31254(132)(45)是

3-循环和2-循环之积。循环(154)中2、3不出现,裘示

2和8保持不变,即(154)=(154)(2)(8)。

实际上,m-循环(a1a2…m)只与元素相邻状况有关,

而与哪个元素为首无关,比如(123)=(231)。如若两个

循环(a12…21)和(bb2…bm),没有相同的文字,则称为不

相交的。不超交两循环的乘积可以交换

例如(132)(45)=(5)(132)

12·1定理任意一个n级置换,都可表成若干个不相

交的循环置换的乘积。

证明对已知置换

123…

23

从1开始搜索,如1→a1→a2→…→a→1,则得一循环(1a1

a2…ah),如若(1a1a2…"·ak)包含了1,2,…,的所有文字,

则搜索停止。否则在余下的文字中任意确定一个,如法进

行,又得一个循环。如此反复进行直到所有元素都取完为

止,这样便得到若干个不相交的循环,σ就等于这些不相交

的循环的乘积。除了循环次序可以任薏交换外,这种裴示是

唯一的

显然=循环的阶为k,我们有

1·2·2定理任意置换的阶等于它的不槌交循环置换

的阶的最小公倍数。

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