第七篇，LQR、MPC工程化总结
目录
一、引言
二、LQR
2.1 LQR的理解与实现
2.1.1 模型设计与实现
2.1.2 LQR工程实现步骤
2.2 参考资料
2.2.1 基础理论与模型的推导
2.2.2 Refer to Apollo
2.2.3 其它实例参考
2.2.4 MATLAB中的LQR
2.3 demo代码
三、MPC
3.1 MPC的理解与实现
3.1.1 模型设计与实现
3.1.2 MPC工程实现步骤
3.2 参考资料
3.2.1 基础理论
3.2.2 Refer to Apollo
3.2.3 其它实例参考
3.2.4 MATLAB中的MPC
3.3 demo代码
四、尚未解决的疑惑
4.1 那个r是什么？
4.2 晕车、吐？
4.3 新人挑战老资格
五、总结与牢骚
一、引言
2022年5月，因为做ADAS、LKA，花了半个多月的时间系统学习了LQR、MPC，并做了demo，还把LQR替换了PID用在了LKA里，算是真正落地了，静待调参。
参考的文章链接、自己写的心得、做的demo都留在了公司内网，想着这是辛勤劳动的重要收获，怎么也得给自己留下资产，并且秉着分享与批评的态度，要把它整理整理放到CSDN上。
主要参考的资料来自CSDN，理论无非就是单车模型、二次规划这些，有些大神写的真是通俗易懂；工程实践参考的Apollo，自己的demo实现用matlab/simulink，这里我po上去的代码也都是用simulink里的matlab function写的，支持code generation，尽量从工程可实现的角度供读者参考。
好，言归正传，下面开始。
二、LQR
2.1 LQR的理解与实现
理论公式和图片们我就不放了，后边我参考的链接里都有，大家自己看，这里直接上干货。
2.1.1 模型设计与实现
既然参考的Apollo，那我模型的建立就是动力学，状态量4个：横向偏差、横向偏差变化率、角度偏差、角度偏差变化率，这个和Apollo是一样的。不一样的是Apollo做的是全域大地坐标系下的轨迹跟踪，而我ADAS-LKA做的是自车坐标系下的误差控制，状态量的生成方式要改一下。
具体的，因为我拿到的是摄像头给的C0C1C2C3，控制目标是车与车道线的距离≥某个数值Cx并且HeadingAngle接近于0，所以：
- 横向偏差可用Cx-C0
- 横向偏差变化率可用基于小角度近似的思想，VehicleSpeed✖sin(atan(C1))
- 角度偏差即HeadingAngle=atan(C1)
- 角度偏差变化率即YawRate
控制量Apollo用的是前轮转角δ再转化成方向盘转角，这里我就直接用方向盘转角了。
好的，总体思路有了，该做具体实现了，基于动力学模型的话，首先要有轮胎侧偏刚度、轴距等等必要的车体参数，来生成AB矩阵；然后根据选取的状态量和控制量的个数决定了QR矩阵的维度，我这里就是Q是4维，R退化成一个标量，再就是根据各元素的权重初步设定QR矩阵对角线上的取值，为什么叫初步呢，因为调参肯定要改个稀巴烂。重点来了：
- Q中元素的大小表示状态量的重要程度，越大表示越重要，控制的快速性会越好，但会增大输入（能量消耗增多），导致超调、震荡可能会比较明显；
- 控制权重矩阵R中元素的大小表示对能量消耗的关注度，越大表示对该输入的能量消耗越敏感，会减小输入，有效降低超调、震荡，控制过程柔和，但快速性较差；
- QR的选取是两种约束互相妥协的过程，重点关注调参。
另外要注意的还有几点：
- 车体参数可能以多种形式给出，需要自己做计算转换，可参考Apollo的代码；
- 对于完整的模型来说，除去AB矩阵之外，考虑横摆还有矩阵B1、B2、N，其中B2为常量向量[0 0 0 1]‘，它只对横摆角角度偏差变化率的导数产生影响，往往忽略不计；
- 模型里的Vx是纵向速度，不要误用了车速，不过差别一般不大，参见https://zhuanlan.zhihu.com/p/72599951。
最后，考虑到弯道的稳态误差，需要根据曲率做前馈补偿，具体实现方式自己定，我的比较简单上不了台面就不po了。
2.1.2 LQR工程实现步骤
- 拿到车体参数；
- 选取状态量和控制量，建模；
- 对AB矩阵做离散化；
- 设定QR矩阵；
- 初始化P矩阵为Q；
- 迭代求解Ricatti方程更新P；
- 根据P计算增益矩阵
；
- 计算控制量
；
- 慢慢调参吧。。。
2.2 参考资料
感谢各位大神！
2.2.1 基础理论与模型的推导
参考1：
自动驾驶（七十二）---------LQR控制算法_一实相印的博客-CSDN博客_lqr控制算法
Apollo控制算法LQR分析（一） - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/72702387
参考2：单车模型、阿克曼转向、转弯半径/曲率、差动转向，这里边还有运动学的彩蛋
Apollo学习笔记（7）车辆运动学模型_碎步の流年的博客-CSDN博客_车辆运动学模型
这里注意，连续模型和离散模型的推导与计算都是不一样的，咱们工程实践得用离散的方法，我刚开始就搞错了，避坑。
参考3：对N矩阵的解释
N代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加权矩阵；
N很少用，就如上文解释的: 这个是一个交叉乘积，意思是是状态和输入的乘积，这一项因素就是耦合状态和输入两部分而产生的cost, 一般情况下我们也不会使用。
线性二次型最优控制器LQR设计原理以及matlab实现_gophae的博客-CSDN博客_lqr控制器原理
2.2.2 Refer to Apollo
参考1：
讲解清楚的车辆动力学模型、Apollo模型推导、有AB矩阵的推导重要！
模型里的Vx是纵向速度，注意
Apollo控制算法车辆动力学模型分析（一） - 知乎
车辆动力学及控制_Apollo控制算法车辆动力学模型分析（一）_weixin_39649736的博客-CSDN博客
LQR与汽车横向动力学_lewis_0的博客-CSDN博客_lqr横向控制
参考2：Apollo双线性离散化的理论公式
开发者说 | Apollo控制算法之汽车动力学模型和LQR控制 - 走看看
开发者说 | Apollo控制算法之汽车动力学模型和LQR控制 - 莫回首_love - 博客园
开发者说 | Apollo控制算法之汽车动力学模型和LQR控制
这里注意，Apollo做线性化用的是双离散的方法，其中A是建模的A矩阵，T是采样时间，I是单位阵。
参考3：
由于单车模型把两个轮胎合并，所以侧偏刚度要乘以2，小轿车单轮的侧偏刚度一般范围在5W~8W N/rad，Apollo中是已经2倍后了的，所以如果参考Apollo做的话，前后侧偏刚度应该是在十几万的量级。
Apollo代码学习(三)—车辆动力学模型_follow轻尘的博客-CSDN博客_车辆动力学模型
有对着Apollo代码的讲解，逻辑清晰多了：
Apollo代码学习(五)—横纵向控制_follow轻尘的博客-CSDN博客_纵向控制算法
参考4：开源Apollo中LQR的位置和计算车体参数、AB矩阵的位置
..\apollo-master\modules\control\controller\lat_controller.cc
ComputeControlCommand()、Init()、LoadControlConf()
2.2.3 其它实例参考
单级倒立摆模型
如何在simulink 中实现LQR控制器的设计 – MATLAB中文论坛
另一例，比较简单
如何用simulink搭建LQR控制器？ - 知乎
可能借鉴的实例、AB矩阵的推导
Carsim应用：LKA车道保持辅助系统（LQR算法推导）_摩罗果的博客-CSDN博客_车道保持算法
https://blog.csdn.net/qq_35763436/article/details/102810098
8_LQR 控制器_状态空间系统Matlab/Simulink建模分析 - 北极星！ - 博客园
参数对性能的影响
倒立摆的PID与LQR控制算法的对比研究 - 豆丁网
2.2.4 MATLAB中的LQR
MATLAB中的LQR函数用法_【快资讯】
用matlab实现离散LQR调节器,线性二次型调节器LQR/LQC算法解析及求解器代码（matlab）..._嗨嗨嗨夏天的博客-CSDN博客
2.3 demo代码
主菜来了：
function y = Fcn_LQR(Ca_f, Ca_r, mass_f, mass_r, WheelBase, VehicleSpeed_mps, ...LatErr, LatErr_d, AngleErr, AngleErr_d, ...ts)
% 根据理论拆解的工程化实现步骤如下：
% 首先计算相关车体参数，用于系统建模得到必要的系数矩阵如AB
% AB矩阵有了之后要做离散化处理
% 然后定义待优化的状态量及控制量，以定义QR权重矩阵
% ---至此，系统模型和QR矩阵都有了，其中系统模型是必须，QR矩阵是待调试参数
% 然后可以求解Riccati方程了，为启动求解过程可将P初始化为Q
% 根据系统需求、软硬件平台性能等定义求解Riccati的迭代次数和收敛误差
% 求解Riccati得到P，进而计算增益矩阵K
% 最终输出y = K*x*-1;WholeMass = mass_f + mass_r;
l_f = WheelBase * (1 - mass_f/WholeMass);
l_r = WheelBase * (1 - mass_r/WholeMass);
Iz = l_f*l_f*mass_f + l_r*l_r*mass_r;A = zeros(4,4);
A(1,2) = 1;
A(2,2) = (Ca_f+Ca_r) / WholeMass / VehicleSpeed_mps * -1;
A(2,3) = (Ca_f+Ca_r) / WholeMass;
A(2,4) = (Ca_r*l_r-Ca_f*l_f) / WholeMass / VehicleSpeed_mps;
A(3,4) = 1;
A(4,2) = (Ca_r*l_r-Ca_f*l_f) / Iz / VehicleSpeed_mps;
A(4,3) = (Ca_f*l_f-Ca_r*l_r) / Iz;
A(4,4) = (Ca_f*l_f*l_f+Ca_r*l_r*l_r) / Iz / VehicleSpeed_mps * -1;
A = (eye(4)-ts*0.5*A) \ (eye(4)+ts*0.5*A); % Apollo的双线性离散化B = [0 0 0 0]';
B(2) = Ca_f / WholeMass;
B(4) = Ca_f * l_f / Iz;
B = B * ts;% B1 = [0 0 0 0]';
% B1(2) = A(2,4) - VehicleSpeed_mps;
% B1(4) = A(4,4);%B2 = [0 0 0 1]';% C = [0 0 1 0]; %观测角度
% D = 0;Q = zeros(4,4);
Q(1,1) = 2;
Q(2,2) = 2;
Q(3,3) = 1;
Q(4,4) = 1;R = 0.1;%% 这部分是自己写的，收敛条件可调；可生成代码
P = Q;
iter = 1;
diff = 1000000;
while (iter<=10 && diff>=1)P_next = A'*P*A - (A'*P*B)/(R+B'*P*B)*(B'*P*A) + Q;P_diff = P_next - P;the_max = abs(max(max(P_diff)));another_max = abs(min(min(P_diff)));diff = max(the_max, another_max);iter = iter + 1;P = P_next;
endK = (R+B'*P*B) \ (B'*P*A);
%% 这部分是用MATLAB算的，可用来做对比% coder.extrinsic("lqr");
% coder.extrinsic("idare"); %不加这行运行不了仿真，因为这个simulink模型是按照生成代码配置的
% K = [0 0 0 0]; %设定个初始维度，否则生成代码的时候报y不确定size的bug
% %[K,~,~] = lqr(A,B,Q,R); %这个是连续系统的，不适用
%
% [~,K,~] = idare(A,B,Q,R); %lqr、idare都不支持code generationx = [LatErr, LatErr_d, AngleErr, AngleErr_d]';y = K*x*-1;LQR的求解有两个关键参数，即迭代误差和迭代次数，这个要根据软硬件平台、采样时间、可接受的精度等综合考虑。
LQR“能够兼顾多项性能指标”，状态量不再是PID只有一个；用LQR是为了综合考虑位置、角度，希望调参过程能让我满意。
三、MPC
3.1 MPC的理解与实现
一样，还是直接上干货。
3.1.1 模型设计与实现
基本和LQR一致，状态方程、AB矩阵、状态与控制的选择、双线性离散化、QR矩阵，参考前面的LQR就好。
不同的是：
- 要定义一个预测步数Np，并基于Np对ABQR等矩阵做增广；
- 而且MPC可以考虑空间状态变量的各种约束，而LQR、PID等只能考虑输入输出的约束；
- MPC还有一个优点，就是允许模型存在误差，不像LQR中的模型精度那么高；
- 损失函数方面，LQR做0~∞积分，MPC做Np有限积分，这也导致了求解方法的不同。
说点儿其它的，在损失函数cost function的计算中，互为转置的项可以合并同类项，理解了这个点有些推导过程才能看的懂。
还有就是，如果状态量不用偏差而直接用相应的参数，则需要改模型改cost function的设计；另外，暂不考虑模型的变化，以横向位置替换横向偏差做状态量为例，则cost function里得减去横向位置参考才合乎常理，这时，代入cost function推导可以得出，最终的结果为quadprog()里的参数f需要减去状态x的参考项。
3.1.2 MPC工程实现步骤
- 拿到车体参数；
- 选取状态量和控制量，建模；
- 对AB矩阵做离散化；
- 设定QR矩阵；
- 设定预测步数Np，并基于Np对ABQR做增广；
- 设定相关参数的约束、各状态的当前值；
- 转化为QP问题求解得到Np步的控制向量u；
- 使用u(0)做控制，并递推一步u迭代到下一轮MPC过程；
- 慢慢调参吧。。。
3.2 参考资料
老规矩，首先感谢各位大神。
3.2.1 基础理论
参考1：
无人驾驶之车辆控制 （2）MPC模型预测控制算法_小郑同学爱学习的博客-CSDN博客_mpc控制算法
你还在用PID？MPC模型预测控制，从公式到代码！_哔哩哔哩_bilibili
MPC学习笔记(一)：手推MPC公式_煜个头头的博客-CSDN博客_mpc推导
参考2：有些代码
MPC模型预测控制（二）-MATLAB代码实现_tingfenghanlei的博客-CSDN博客_mpc代码
MPC模型预测控制_tingfenghanlei的博客-CSDN博客_mpc模型预测控制大牛知乎
自动驾驶——模型预测控制（MPC）理解与实践_wisdom_bob的博客-CSDN博客_mpc 自动驾驶
3.2.2 Refer to Apollo
参考1：
Apollo-MPC的框架介绍，这个博主有Apollo其它模块的介绍可以看看，前后逻辑比较清楚；用预瞄点的曲率做前馈
自动驾驶（七十六）---------Apollo MPC之代码解析_一实相印的博客-CSDN博客_自动驾驶控制代码
Apollo-MPC二次规划的简单推导
https://zhuanlan.zhihu.com/p/72738458
有一些Apollo的代码
Apollo代码学习(六)—模型预测控制(MPC)_follow轻尘的博客-CSDN博客_apollo mpc代码
参考2：开源Apollo中LQR的位置和计算车体参数、AB矩阵的位置
..\apollo-master\modules\control\controller\mpc_controller.cc
ComputeControlCommand()、Init()、LoadControlConf()
3.2.3 其它实例参考
参考1：极重要，是我自己实现的主要refer
demo基础参考
自编Matlab代码实现MPC基本算法_玄在天涯的博客-CSDN博客_matlab mpc
基础参考做了引申，固定点跟踪
自编Matlab代码实现MPC定点跟踪_玄在天涯的博客-CSDN博客_mpc算法matlab
参考2：
一个MPC简单matlab实例
模型预测控制（MPC）解析（一） - 古月居
3.2.4 MATLAB中的MPC
核心是依赖quadprog()，结合着代码讲吧。
3.3 demo代码
上主菜：
function y = Fcn_MPC(Ca_f, Ca_r, mass_f, mass_r, WheelBase, VehicleSpeed_mps, ...LatErr, LatErr_d, AngleErr, AngleErr_d, ...ts)WholeMass = mass_f + mass_r;
l_f = WheelBase * (1 - mass_f/WholeMass);
l_r = WheelBase * (1 - mass_r/WholeMass);
Iz = l_f*l_f*mass_f + l_r*l_r*mass_r;dim_state = 4; %状态4个
dim_ctrl = 1; %控制1个A = zeros(4,4);
A(1,2) = 1;
A(2,2) = (Ca_f+Ca_r) / WholeMass / VehicleSpeed_mps * -1;
A(2,3) = (Ca_f+Ca_r) / WholeMass;
A(2,4) = (Ca_r*l_r-Ca_f*l_f) / WholeMass / VehicleSpeed_mps;
A(3,4) = 1;
A(4,2) = (Ca_r*l_r-Ca_f*l_f) / Iz / VehicleSpeed_mps;
A(4,3) = (Ca_f*l_f-Ca_r*l_r) / Iz;
A(4,4) = (Ca_f*l_f*l_f+Ca_r*l_r*l_r) / Iz / VehicleSpeed_mps * -1;
A = (eye(4)-ts*0.5*A) \ (eye(4)+ts*0.5*A); % Apollo的双线性离散化B = [0 0 0 0]';
B(2) = Ca_f / WholeMass;
B(4) = Ca_f * l_f / Iz;
B = B * ts;Q = zeros(4,4);
Q(1,1) = 2;
Q(2,2) = 2;
Q(3,3) = 1;
Q(4,4) = 1;R = 0.1;% 当前状态量
x0 = [LatErr, LatErr_d, AngleErr, AngleErr_d]';% 预测步长
Np=10;% 增广
A_ext = zeros(dim_state*Np, dim_state);
B_ext = zeros(dim_state*Np, Np);
Q_ext = zeros(dim_state*Np);
R_ext = zeros(dim_ctrl*Np);
for i=1:1:NpAt_tmp = A^i;for row = 1 : 1 : dim_statefor col = 1 : 1 : dim_stateA_ext(dim_state*(i-1)+row, col) = At_tmp(row,col);endendfor j=1:1:iBt_tmp = (A^(i-j)) * B;for row = 1 : 1 : dim_stateB_ext(dim_state*(i-1)+row, j) = Bt_tmp(row,1);endendfor row = 1 : 1 : dim_statefor col = 1 : 1 : dim_stateQ_ext(dim_state*(i-1)+row, dim_state*(i-1)+col) = Q(row,col); % Qt/Rt是对角Q/R阵，这里用row_Q其实代表方阵维数，QR都是方阵endendfor row = 1 : 1 : dim_ctrlfor col = 1 : 1 : dim_ctrlR_ext(dim_ctrl*(i-1)+row, dim_ctrl*(i-1)+col) = R(row,col); % Qt/Rt是对角Q/R阵，这里用row_Q其实代表方阵维数，QR都是方阵endend
end% 控制量ut的初始值
persistent p_u0;
if isempty(p_u0)p_u0 = zeros(Np,1);
end% quadprog()所需参数
H = 2*(B_ext'*Q_ext*B_ext + R_ext);
f = (2*x0'*A_ext'*Q_ext*B_ext)';
qp_A = [B_ext; -B_ext];
state_constr = zeros(dim_state*Np, 1); % state_constr也要做增广，以匹配公式中的维度
constr_tmp = [0.5 1 0.5/180*pi 1/10]';
for i = 1 : 1 : Npfor j = 1 : 1 : dim_statestate_constr(dim_state*(i-1)+j) = constr_tmp(j);end
end
b = [state_constr-A_ext*x0; state_constr+A_ext*x0];% b是根据对状态的约束得来的，% [0.5 1 0.5/180*pi 1/10]，即横向误差约束到半米以内、变化率1m/s以内、% HandingAngleError(也就是HeadingAngle)在0.5°以内、HeadingAngleErrorRate在0.1rad以内
lb = -20/180*pi*ones(Np,1); % 控制量ut的上下限，即方向盘转角
ub = 20/180*pi*ones(Np,1); % ±20°
opts = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
% quadprog()所需参数% solve qp problem
[u, fval, exitflag]=quadprog(H, f, qp_A, b, [], [], lb, ub, p_u0, opts);p_u0 = [u(2:Np); u(Np)];y = u(1);
这是一步的操作，实际应用要在每个控制循环调用一次，LQR也是一样。
续上3.2.3里quadprog()的问题，这个一定要做options，否则仿真能过但无法code generation，至于quadprog()的实现原理。。。。。。反正我code generation直接给我造出了5000+的代码量，say byebye就好，下面是做options的方案：
doc quadprog或Generate Code for quadprog- MATLAB & Simulink- MathWorks 中国
四、尚未解决的疑惑
4.1 那个r是什么？
看好多文章里LQR都有个像参考输入的东西r，见下图，没太理解。
4.2 晕车、吐？
无论人驾还是智驾，方向盘打的太猛会导致极差的驾乘体验，我想方向盘转动角速度是个关键参数，但怎么用上它呢？
当状态量好像很合理，当个假设的控制量好像也行，按照理论LQR好像不容易做约束，MPC好像能做，不过没想好怎么做，应该要做在cost function里吧？
还请大神指点。
4.3 新人挑战老资格
说的是LQR/MPC与PID，状态空间/最优控制所谓的兼顾多个参数，真的那么靠谱么？谁有调参经验能不能说说，控制效果真的明显强于PID吗？
五、总结与牢骚
说实在的，这么多年我都是做工程落地的，相比于自我感觉良好的理论，我更倾向于能创造实际价值的工程，对理论说教颇为不齿，不喜勿喷。LKA把LQR上了，希望调参体验能好。
记个小tip：
Apollo的单纵向是位置+速度PID，单横向是LQR+曲率前馈，横纵耦合是MPC。
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