梅森质数（2^n - 1是质数，则n是质数）的证明

今天去**面试碰到的一道题，当场没做出来，回来搜了一下，终于知道证法了。。（后面的图形学题目都没做出来，估计挂了 %>_<%）

网上搜了一下才知道这叫梅森质数，详情请猛击这里。

“2^n - 1是质数”是“n是质数”的充分非必要条件，即“n是质数”并不能推得“2^n - 1是质数”，例如：2^11 – 1 = 23 * 89。

所以证法如下：

设n = ab，即n是一个非质数（合数，1 < a < n）, a b是正整数，则有2^ab – 1 = (2^a – 1)(2^a(b-1) + 2^a(b-2) + … + 2^a + 1)，那么2^n - 1是一个非质数（合数），因为(2^n – 1) / (2^a – 1) > 1。所以“n是非质数”能推出“2^n - 1也是非质数”，即“n不是质数”是“2^n - 1不是质数”的一个充分非必要条件，其逆反命题也是真命题，即“2^n - 1是质数，则n是质数”。证毕。

扩展，如果a^n - 1是一个质数，且a n是一个大于1的正整数，则a = 2，n是质数。

转载于:https://www.cnblogs.com/keokeo/archive/2010/04/09/1708559.html

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