规范化理论：无损分解的测试算法

什么是模式分解？

设有关系模式R(U)， $R_{1}$ ， $R_{2}$ ，...， $R_{k}$ 都是R的子集（此处把关系模式看成是属性的集合），R= $R_{1}$ U $R_{2}$ U…U $R_{k}$ ，关系模式的集合用 $\rho$ 表示， $\rho$ ={ $R_{1}$ , $R_{2}$ , … , $R_{k}$ }。用 $\rho$ 代替R过程称为关系模式的分解。这里 $\rho$ 称为R的一个分解，也称为数据库模式。

一般把上述R称为泛关系模式，R对应的当前值称为泛关系。数据库模式 $\rho$ 对应的当前值 $\sigma$ 称为数据库实例，它是由数据库模式中的每一个关系的当前值组成，用 $\sigma$ =< $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，... ， $r_{k}$ >表示。

R分解成 $\rho$ 的目的是为消除关系模式中不合理的数据冗余和操作异常问题。由于在计算机中数据并不是存储在泛关系r中，而是存储在数据库 $\sigma$ 中。那么，接下来的问题是 $\sigma$ 和r是否表示同一个数据库，如果两者表示不同的内容，那么这个分解就没有意义了。这这需要从以下两个角度来考虑。

（1） $\sigma$ 和r是否等价，即是否表示同样的数据。这个分解总是用“无损连接”特性表示。
（2）在模式R上有一个函数依赖集F，在 $\rho$ 的每个模式 $R_{i}$ 上有一个函数依赖集 $F_{i}$ ，那{ $F_{1}$ , $F_{2}$ , … , $F_{k}$ }与F是否等价。这个问题用“保持依赖”特性表示。

可见，系模式的分解，不仅仅是属性集合的分解，它同时体现了对关系模式上的函数依赖集和关系模式的当前值（关系实例）的分解。衡量关系模式的一个分解是否可取,主要有两个标准：即分解是否具有无损连接，分解是否保持了函数依赖。

无损连接分解的测试算法

在把关系模式R分解成 $\rho$ 以后，如何测试分解 $\rho$ 是否是无损分解呢?下面给出相应的算法。

输入：关系模式R(A1, A2, ... , An)，F是R上成立的函数依赖集，R的一个分解， $\rho$ ={ $R_{1}$ , $R_{2}$ , … , $R_{k}$ }。
输出：判断 $\rho$ 相对于F是否为无损连接分解。

步骤如下。

（1）构造一个k行n列的表格R，表中每一列对应一个属性 $A_{j}$ （1≤j≤n），每一行对应一个模式 $R_{k}$ （1≤i≤k）。如果 $A_{j}$ 在 $R_{k}$ 中，则在表中的第i行第j列处填上符号 $a_{j}$ ，否则填上 $b_{ij}$ 。

（2）把表格看成模式R的一个关系，根据F中的每个函数依赖，修改表中元素的符号，其方法如下。

对F中的某个函数依赖X→Y，在表中寻找X分量上相等的行，把这些行的Y分量也都改成一致。具体做法是分别对分量上的每一列做修改。
如果列中有一个是 $a_{j}$ ，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成 $a_{j}$ ；
如果列中没有 $a_{j}$ ，那么这一列上（X相同的行）的元素都改成 $b_{ij}$ （下标ij取i最小的那个）；
对F中所有的函数依赖，反复地执行上述的修改操作，一直到表格不能再修改为止（这个过程称为“追踪”（Chase）过程）。

（3）若修改到最后，表中有一行全为a，即 $a_{1}$ $a_{2}$ ... $a_{n}$ ，那么称 $\rho$ 相对于F是无损连接分解。

举几个例子说明。

【例1】设有关系模式R(A, B, C, D)，R分解成 $\rho$ ={AB, BC, CD}，如果在R成立的函数依赖集F={B→A, C→D}，那么p相对于F是否是无损连接分解？

解题思路：

（1）由于关系模式R具有4个属性， $\rho$ 中分解的模式共有3个，所以要构造一个3行4的表格，并根据算法向表格中填入相应的符号，如图所示。

初始表格
	A	B	C	D
AB	$a_{1}$	$a_{2}$	$b_{13}$	$b_{14}$
BC	$b_{21}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$b_{24}$
CD	$b_{31}$	$b_{32}$	$a_{3}$	$a_{4}$

（2）根据F中的第1个函数依赖B→A，由于属性B列上的第1行和第2行中都为 $a_{2}$ ，所以，这两行的对应属性A列上的符号都应改为 $a_{1}$ ，即将第2行中对应属性A列的 $b_{21}$ 改为 $a_{1}$ ；

根据F中的第2个函数依赖C→D，由于属性C列上的第2行和第3行中都为 $a_{3}$ ，所以，这两行的对应属性D列上的符号都应改为 $a_{4}$ ，即将第2行中对应属性D列的 $b_{24}$ 改为 $a_{4}$ ，修改后的表格如图所示。

修改后的表格
	A	B	C	D
AB	$a_{1}$	$a_{2}$	$b_{13}$	$b_{14}$
BC	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$
CD	$b_{31}$	$b_{32}$	$a_{3}$	$a_{4}$

（3）由于修改后的表格中的第二行已全是a，即 $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ ，因此，p相对于F是无损连接分解。

【例2】设有关系模式R(SNo, CNo, Score, TNo, TS)，其中属性SNo，CNo， Score，TN及TS分别表示学生的学号课程号成绩、教师号和教师专长。基于R的函数依赖集F={(SNo, CNo)→Score, CNo→TNo, TNo→TS}。判断 $\rho$ ={SCS(SNo, CNo, Score), CTN(CNo, TNo), TNTS(TNo, Ts))相对于F是否为无损连接分解?

解题思路：

（1）由于关系模式R具有5个属性， $\rho$ 中分解的模式共有3个，所以要构造一个3行5列的表格，并根据算法向表格中填入相应的符号，如图所示。

初始的表格
	SNo	CNo	Score	TNo	Ts
SCS	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$b_{14}$	$b_{15}$
CTN	$b_{21}$	$a_{2}$	$b_{23}$	$a_{4}$	$b_{25}$
TNTS	$b_{31}$	$b_{32}$	$b_{33}$	$a_{4}$	$a_{5}$

（2）根据F中的第1个函数依赖(SNo, CNo)→ Score，由于表格中没有在(SNo, CNo)相等的行，因此，不作修改；

根据F中的第2个函数依赖CNo→TNo，由于表格中第1、2行CNo的值同为 $a_{2}$ ，因此，把这两行的TNo的值改为 $a_{4}$ ，也就是将第一行的TNo的值由 $b_{14}$ 改为 $a_{4}$ ，修改结果如图所示。

根据函数依赖CNo→TNo的修改结果
	SNo	Cno	Score	TNo	TS
SCS	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$b_{15}$
CTN	$b_{21}$	$a_{2}$	$b_{23}$	$a_{4}$	$b_{25}$
TNTS	$b_{31}$	$b_{32}$	$b_{33}$	$a_{4}$	$a_{5}$

根据F中的第3个函数依赖TNo→TS，由于表格中的第1，2，3行TNo的值同为a4，因此，把这三行的TS的值改为 $a_{5}$ ，也就是将第一行、第二行的TS的值分别由 $b_{15}$ 和 $b_{25}$ 都改为 $a_{5}$ ，修改结果如图所示。

根据函数依赖TNo→TS的修改结果
	SNo	CNo	Score	TNo	TS
SCS	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$
STN	$b_{21}$	$a_{2}$	$b_{23}$	$a_{4}$	$a_{5}$
TNTS	$b_{31}$	$b_{32}$	$b_{33}$	$a_{4}$	$a_{5}$

（3）由于修改后的表格中的第一行已全是a，即即 $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ $a_{5}$ ，因此， $\rho$ 相对于F是无损连接分解。

另外，当 $\rho$ 中只包含两个关系模式时，存在一个较简单的测试定理。

设 $\rho$ ={ $R _{1}$ , $R_{2}$ }是关系模式R的一个分解，F是R上成立的函数依赖集，那么分解 $\rho$ 相对于F是无损分解的充分必要条件是( $R _{1}$ ∩ $R_{2}$ )→( $R _{1}$ - $R_{2}$ )或( $R _{1}$ ∩ $R_{2}$ )→( $R_{2}$ - $R _{1}$ )。

其中， $R _{1}$ ∩ $R_{2}$ 表示两个模式的交集，即 $R _{1}$ 与 $R_{2}$ 中的公共属性， $R _{1}$ - $R_{2}$ 或 $R_{2}$ - $R _{1}$ 表示两个模式的差集。

即当模式R分解成两个模式 $R _{1}$ 和 $R_{2}$ 时，若两个模式的公共属性（ $\phi$ 除外）能够函数定 $R _{1}$ （ $R_{2}$ ）中的其他属性，这样的分解具有无损连接性。

这个定理可以用无损连接分解的测试算法来证明。

【例3】设有关系模式R(X, Y, Z)，基于R的函数依赖集F={X→Y}。判断以下有关R的两个分解是否是为无损连接。

$\rho _{1}$ ={ $R _{1}$ (X, Y), $R_{2}$ (X, Z)}
$\rho _{2}$ ={ $R _{3}$ (X, Y), $R _{4}$ (Y, Z)}

解题思路:

（1）因为 $R _{1}$ ∩ $R_{2}$ 为XY∩XZ=X， $R _{1}$ - $R_{2}$ =XY-XZ=Y，已知X→Y，所以， $R _{1}$ ∩ $R_{2}$ →( $R _{1}$ - $R_{2}$ )，因此， $\rho _{1}$ ={ $R _{1}$ (X, Y), $R_{2}$ (X, Z)}是无损分解。

（2）因为 $R _{3}$ ∩ $R _{4}$ 为XY∩YZ=Y， $R _{3}$ - $R _{4}$ =XY-YZ=X，已知X→Y，所以 $R _{3}$ ∩ $R _{4}$ →/( $R _{3}$ - $R _{4}$ )，因此， $\rho _{2}$ ={ $R _{3}$ (X, Y), $R _{4}$ (Y,Z)}不是无损分解。

参考资料：[1]陈志泊，王春玲，许福，范春梅.数据库原理及应用教程（第3版）[M].北京:人民邮电出版社，2014：140-144.