什么是纳维-斯托克斯方程？

纳维-斯托克斯方程是用于描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。对于可压缩的牛顿流体，可以得到

其中，u 是流体速度，p 是流体压力，ρ 是流体密度，μ 是流体动力黏度。式中各项分别对应于惯性力(1)、压力(2)、黏性力(3)，以及作用在流体上的外力(4)。纳维-斯托克斯方程是由纳维、泊松、圣维南和斯托克斯于 1827 年到 1845 年之间推导出来的。

这些方程总是要与连续性方程同时进行求解：

纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。

纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用

纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。在特定的边界条件(如入口、出口和壁)下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。

示例：流经后台阶的层流

在下面的例子中，我们对一个计算域中的纳维-斯托克斯方程(以下简称“NS 方程”)和质量守恒方程进行数值求解，为此需要一组边界条件：

模型中，在入口指定了流体速度，在出口指定了压力，并指定了无滑移壁面边界条件(即，速度为零)。在层流流态和恒定边界条件下，稳态 NS((1)中的时间相关导数设为零)和连续性方程的数值解如下：

速度大小分布和流线图。

速度大小分布和流线图。

压力场。

压力场。

纳维-斯托克斯方程的各种形式

根据研究的流态，我们通常可以将这些方程进行简化。在某些情况下，可能还需要附加方程。在流体动力学领域，人们常使用无因次数(例如雷诺数和马赫数)对不同的流态进行分类。

关于雷诺数和马赫数

雷诺数 Re=ρUL/μ 是惯性力(1)与黏性力(3)的比值，用于测量流体的湍流程度。低雷诺数的流动是层流，高雷诺数的流动为湍流。

马赫数 M=U/c 是流体速度 U 与该流体中声速 c 的比值，用于测量流体的压缩性。

在后台阶流动示例中，Re = 100 且 M = 0.001，表明这是一个层流，并且几乎不可压缩。对于不可压缩流，由连续性方程可得：

对于不可压缩流的情况，由于速度散度等于零，我们可以将

这一项从 NS 方程的黏性力项中去除。

在下一节，我们将研究一些特殊的流态。

低雷诺数/蠕动流

当雷诺数非常小(Re≪1)时，与黏性力(3)相比，惯性力(1)会很小，在求解 NS 方程时可以将这些力忽略。为了对这一流态进行说明，我们来看一看美国加州大学圣塔芭芭拉分校的 Arturo Keller、Maria Auset 和 Sanya Sirivithayapakorn 进行的孔隙尺度流动实验。

图形显示孔隙尺度的流动实验中的边界条件。

图形显示孔隙尺度的流动实验中的边界条件。

关于该实验

实验研究的区域大小为 640 μm x 320 μm。水从右向左流动，穿过整个几何体。孔隙中的水流不会渗透固体部分(上图中的灰色区域)。入口和出口的流体压力为已知条件。由于通道的最大宽度为 0.1 毫米，并且最大速度小于 10-4 m/s，因此最大雷诺数小于 0.01。因为没有外力作用(重力忽略不计)，所以力项(4)也等于零。

由此可以将 NS 方程简化为：

实验建模

下图显示仿真得到的等流速线和压力场(高度)。

由于入口的压力比出口高，这就产生了压力驱动的流体流动。这些结果表明，NS 方程中的压力(2)和黏性力(3)之间存在平衡。在沿较小通道的位置，其黏性扩散的影响更加明显，从而导致压降也更大。

高雷诺数/湍流

在雷诺数非常高的工程应用中，惯性力(1)远大于黏性力(3)。这种湍流问题在本质上是瞬态的；需要使用足够精细的网格，才能求解最小涡流的大小。

使用 NS 方程计算此类问题，往往会超出当今大多数计算机和超级计算机的计算能力。因此，我们可以改用纳维-斯托克斯方程的雷诺平均纳维-斯托克斯(RANS)公式，对速度和压力场取时间平均值。

如此一来，我们便能够基于相对粗糙的网格以静态方式计算这些时均方程，从而大大降低此类仿真对计算能力的要求，并显著缩短计算时间(通常，二维流动需要几分钟，三维流动则需要几分钟到几天不等)。

雷诺平均纳维-斯托克斯(RANS)公式如下：

其中，U 和 P 分别是时均速度和压力。μT 项表示湍流黏度，即小尺度的瞬态速度波动的影响，RANS 方程不会求解这种波动。

湍流黏度 μT 通过湍流模型进行计算，最常用的是 k-ε 湍流模型(众多 RANS 湍流模型之一)。由于这个模型不仅具有较好的稳定性，还能有效节省计算资源，因此常被用于工业应用领域。该模型还求解两个附加方程：湍流动能 k 的传递和湍流耗散 ϵ。

为了进一步说明这一流态，我们来看看在一个比孔隙尺度流动大得多的几何体中的流动情况：一个典型的臭氧净化反应器。这个反应器长约 40 米，看起来像一个迷宫，其中使用部分墙壁或挡板将空间分成房间大小的多个隔间。根据入口速度和直径(本例中分别为 0.1 m/s 和 0.4 m)，相应的雷诺数为 400,000。通过该模型可以求解时均速度 U、压力 P、湍流动能 k 以及湍流耗散 ϵ：

仿真结果显示了流型、流速和湍流黏度 μT。

仿真结果显示了流型、流速和湍流黏度 μT。

流体压缩性

流体压缩性可以通过马赫数进行测量。前面的所有例子都是弱可压缩流体，也就是说马赫数小于 0.3。

不可压缩流

当马赫数很低时，我们可以假设流体是不可压缩的。对于压缩性比气体小得多的液体来说，这通常是一个良好的近似。在这种情况下，假设密度恒定，连续性方程可以简化为 ∇⋅u=0。在蠕动流例子中，水以低速流经多孔介质，这就是一个很好的不可压缩流示例。

可压缩流

在某些情况下，流速非常大，并引起流体的密度和温度发生显著变化。当 M<0.3 时，这些变化可以忽略不计。然而，当 M>0.3 时，速度、压力和温度场之间的耦合会变得非常强，此时需要同时求解纳维-斯托克斯方程、连续性方程以及能量方程(流体传热方程)。通过能量方程，我们可以预测流体中的温度，这是计算温度相关的材料属性所需的参数。

可压缩流既可以是层流，也可以是湍流。在下一个示例中，我们来看看扩散器(一个收缩和扩散的喷嘴)中的高速湍流气流。

扩散器是一个跨音速流动环境，从这个意义上来说，尽管入口的气体是亚音速流动，但由于收缩和较低的出口压力，流动会加速并在喷嘴喉部变为音速流动(M = 1)。

以上三个绘图的结果表现出很强的相似性，证实了速度、压力和温度场之间的强耦合关系。在一小段区域的超音速流动(M > 1)之后，气流通过正激波，流速再次变回亚音速。M. Sajben 及其同事已通过大量的实验和数值仿真对这一体系进行了研究 [1-6]。

纳维-斯托克斯方程无法求解的流态

仅当系统的特征物理长度尺度远大于流体分子的平均自由程时，纳维-斯托克斯方程才成立。这种情况下的流体称为连续介质。平均自由程 λ 与特征长度尺度 L 的比值称为克努森数 Kn=λ/L。

当 Kn<0.01 时，NS 方程成立。当 0.010.1 时，方程不成立。例如，在环境压力为 1 atm 的情况下，空气分子的平均自由程是 68 纳米。因此，模型的特征长度应大于 6.8 μm，NS 方程才能成立。

发布日期：2015 年 1 月 15 日

上次修改日期：2017 年 2 月 22 日

参考文献

M. Sajben, J.C. Kroutil, and C.P. Chen, “A High-Speed Schlieren Investigation of Diffuser Flows with Dynamic Distortion”, AIAA Paper 77-875, 1977.

T.J. Bogar, M. Sajben, and J.C. Kroutil, “Characteristic Frequencies of Transonic Diffuser Flow Oscillations,” AIAA Journal, vol. 21, no. 9, pp. 1232–1240, 1983.

J.T. Salmon, T.J. Bogar, and M. Sajben, “Laser Doppler Velocimetry in Unsteady, Separated, Transonic Flow”, AIAA Journal, vol. 21, no. 12, pp. 1690–1697, 1983.

T. Hsieh, A.B. Wardlaw Jr., T.J. Bogar, P. Collins, and T. Coakley, “Numerical Investigation of Unsteady Inlet Flowfields,” AIAA Journal, vol. 25, no. 1, pp. 75–81, 1987.