内容：大多是摘录原书，概括、理解是自己总结的。第一章读的较细，从整体上把握，后面凭个人兴趣摘录。一般是文字内容，图少（推荐有大量图片的原书！）。

目的：供自己温习使用，有摘录不全或总结不精的部分。他人学习，仅供参考。

评价（读完时更新）：原书写的很精彩，解释细致且生活化，有很多优美的图形帮助理解，强烈推荐这本《线性代数的几何意义》任广千。如果没有时间全部读完，至少前言和第一章可以看看，以助于让你重视这门学科，哈哈。

豆瓣链接：https://book.douban.com/subject/26651221/

书籍目录——各章节要点

前言

U1 线性代数

1. 代数的意义

2. 线性的意义

3. 多元线性函数的几何意义

4. 线性变换的几何意义

5. 线代的应用

笔记链接汇总

书籍目录——各章节要点

前言：为什么要给出线性代数的几何意义

U1 什么是线性代数：代数，线性，线性函数，多元线性函数，n维(高维)空间，线性映射，线性变换，应用

U2 向量的几何意义：向量，自由向量，运算（加法，内积，叉积，除法），向量积和张量，变向量，复向量（向量与复数），微积分（微分，微元），解析几何

U3 行列式：行列式，行列式化为对角形，行列式乘积项，拉普拉斯展开定理，代数余子式，克莱姆法则，最后一列为1的行列式

U4 向量组及向量空间：向量组，向量线性表示/组合，线性相关，等价，秩，极大无关组，向量空间（子空间，基、维数及其坐标），欧式空间，标准正交基，施密特正交化

U5 矩阵：矩阵，运算（矩阵加法、乘法，矩阵与向量乘法），矩阵与线性变换（初等矩阵/初等变换），秩，特征值和特征向量，相似，相似对角化，矩阵行列式，雅可比矩阵，对平面和空间的旋转变换，等价、相似与合同关系，几类矩阵（逆，转置，伴随，正交，分块，三角，对角，平移，复数）

U6 线性方程组：表示形式，高斯消元法，秩及解的关系，有解判别定理，解结构，数域上的线性方程组（或向量空间），超定方程组的最小二乘解，方程组和矩阵、向量组的关系

U7 二次型：二次曲线及曲面的图形，二次型，二次型合同对角化，惯性定理，二次型的分类与二次曲面的分类

附录：1. 线性代数主要内容及发展简史 2. 怎样学习线性代数；参考文献

后记

前言

线性代数是培养抽象思维的。

数学建模是个从具体到抽象的过程。

数学问题常来自于几何，而表达于代数。

数学问题分为线性和非线性问题，而非线性可以转化为线性。（如微积分的基本思想是“以直代曲”，微分方程在某种条件下可近似变为“线性代数方程组”。）

U1 线性代数

1. 代数的意义

代数：是把算术推广到比具体的数更抽象的对象（运算规则）上去，研究的是抽象实体（如复数、集合、向量、矩阵、群、环、域等）以符号形式进行运算，类似于算术运算的性质和关系。

1.1 从代数的抽象过程看整个线性代数学科的发展

代数对数字进行抽象，是关于数及运算法则的抽象表达，如用字母表示数。此时不关心具体数值的运算，只关心运算规律。

进一步抽象，字母可以同时表示数和方向，即代表向量。

朝另一方向抽象，字母是可变的数，所以是变量。如果固定一些变量为常量（常数），就出现了多项式和方程式。

某些方程在实数域内无解，抽象出虚数来表示它们的根。

对运算规律进行抽象的分类，如怎么表示五元方程式，发展出了群、环、域、映射、线性空间等。从局部研究转向系统结构分析。

2. 线性的意义

线性函数的几何意义：直线 f(x)=kx+b。

线性代数中的线性，就是线性空间里的线性变换。f(x)=kx。

2.1性质：线性函数满足可加性、比例性。

可加性： f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，和的函数等于函数的和。

物理意义：变量叠加后的作用效果，等于各变量作用效果的叠加。（可加性是无相互激励、也无相互内耗的累加。反例：人力资源问题）

比例性：（齐次性） f(kx)=k f(x)，比例的函数等于函数的比例。

物理意义：变量缩放（没有初始值。正例：电路的输入量与信号的关系）

合并为 f(k1x1+k2x2)=k1 f(x1) + k2 f(x2)，线性组合的函数，等于函数的线性组合。

2.2 线性函数概念推广

n元齐次方程组就是线性函数。

将自变量x、因变量y分别扩展为列向量，系数扩展为系数矩阵。则n元齐次方程组可写成Y=f(x)=AX形式，线性函数的形式。（大写/黑体表示系数和变量）

矩阵A就是线性方程组的系数，对应着一个线性变换（将向量X变为向量Y）。

3. 多元线性函数的几何意义

一元线性函数：一条直线。

二元线性函数：一个平面，是三维坐标系下的二维图形。

n元线性函数：低于坐标系一个维数的n元几何图形。坐标系——空间，低于坐标系——子空间/超平面。

特例：n个n元线性函数组成一个满秩方程组，是表示一条直线。（还没理解）

3.1 高维空间的理解

空间的物理解释，是人们抽象所观察的宇宙物体时出现的概念。

银河系外的人，看地球是平面上的一个二维点；他快速逼近地球，这个点逐渐变成三维的空间，也即三维球体，此时地球上的人是他眼中的一个点。如果再深入观察，逐步看到这个人的身体、细胞、染色体、原子、原子核、夸克……看到宇宙结构终结。

“一粒沙子就是一个世界。”

宇宙空间里的维轴有无穷多个，都两两正交（因为维轴的尺度范围不同）。

3.2 物体与空间

一个三维物体，可看作是四维空间里的“面”。

n维空间的n维向量多是相对独立的因素，完全独立（垂直/正交），或相对独立（线性无关）。如果取消坐标轴的垂直定义，那么可以从斜坐标系画出n维空间。即n个向量可张成n维空间。

4. 线性变换的几何意义

两个含义：变换空间里的向量，空间坐标系不变；变换坐标系，向量不变。说法相对，结果等价。

4.1 线性变换是从运动的角度看线性

线性可看作，因变量与自变量间保持组合形式不变的一种对应关系。

引入运动的思想，把函数看作一种变换，一种映射，一种从自变量集合对应变换到因变量集合的瞬间过程。（瞬间变化是只有开始和结果的，初等物理的运动会藐视过程，如电子跃迁）

线性映射就是把向量映射成向量，即把“线”变成“线”。如把某坐标系的图形，变到另一坐标系中。如果令两坐标系重合，就是线性变换，即一个坐标系内的映射。（书中有图形案例）

5. 线代的应用

数学，电子工程（电路、信号分析），软件工程（3D游戏是图形的矩阵运算；电影的后期特效），经济研究（线性方程组构成的经济数学模型），运筹学（线性规划用线性不等式），工程（求解大型线性方程组；营养减肥食谱的有限元；商业等的数学模型马尔可夫链，是一个随机变量矩阵所决定的概率向量序列），动力系统（有振动的地方就有特征值），经济学的效用函数和统计学的置信椭圆体（二次型），最小二乘法实质是超定线性方程组的求解。

线性代数不只是计算工具，需要掌握应用案例、线性代数的几何及物理意义、矩阵工具，以及真正的软件工具（如MATLAB）。

扩展：金融危机时期的职业评价top10（基于工作环境、薪资、职业前景、体力要求、压力）

数学家，保险统计师Actuary，统计学家，生物学家，软件工程师，计算机系统分析师，历史学家，社会学家，工业设计师，会计师。（bottom10都是体力及技术工）

笔记链接汇总

【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记

（一）目录、前言、U1 线性代数

（二）U2 向量、U3 行列式、U4 向量组向量空间

（三）U5 矩阵

（四）U6 线性方程组、U7 二次型

（五）附录（线代简史、如何学习）、小结

【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记（一）相关推荐

MIT 18.06 +线性代数的几何意义+3Blue1Brown 笔记
第一节线性映射与线性变换线性函数:初等f(x)=kxf ( x ) = k xf(x)=kx,满足可加性与比例行,几何意义为一条直线:高等线性函数:扩展初等线性函数,f(x1,x2,⋯,xn)=k ...
《线性代数的几何意义》笔记（1）
如何理解"线性代数"这四个字? 线性代数 = 线性 + 代数. 线性,是指线性代数这门学科研究的是线性问题.线性是理想化的,但是也是最基础的.实际工程中如果有非线性的问题,可以通过 ...
线代 | 线性代数的本质本质本质 nature
Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself ---Morpheus 正如 ...
数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（五）
文章目录第四章向量组及向量空间的几何意义 4.1 向量组的几何意义 4.1.1 线性表示.组合及相关性的意义 4.1.2 向量组等价及秩的几何意义向量组等价的几何解释向量的秩及极大无关向量组 ...
线性代数的几何意义（一）——线性代数的意义
[线性代数的几何意义](一.一)--"线性"."代数"的意义何为"代数" "代数"一词的英文是Algebra,源于阿拉 ...
3Blue1Brown:“线性代数的本质”完整笔记
我最早系统地学习线性代数是在大二时候,当时特意选修了学校物理系开设的4学分的线代,大概也就是比我们自己专业的线代多了一章向量空间的内容,其实最后上完发现,整个课程内容还是偏向于计算,对线性代数的几何直 ...
线性代数的本质学习笔记
线性代数的本质文章目录线性代数的本质 1.向量究竟是什么 2.线性组合.张成的空间.基 3.矩阵与线性变换 4.矩阵乘法与线性变换复合 5.三维空间中的线性变换 6.行列式 7.逆矩阵.列空间与零 ...
万字长文！线性代数的本质课程笔记完整合集
点击上方"Datawhale",选择"星标"公众号第一时间获取价值内容系列目录 1.向量究竟是什么 https://www.bilibili.com/vid ...
万字长文|线性代数的本质课程笔记完整合集！
0.系列目录 1.向量究竟是什么:https://www.bilibili.com/video/av5987715/?spm_id_from=333.788.reco_list.2 2.线性组合.张成 ...
【线性代数的几何意义】什么是线性代数
一.什么是线性代数线性与非线性: 非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解线性空间: 对所谓的要满足"加法"和"数乘"等八条公理的元素的集合线性函数 ...

【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记（一）

书籍目录——各章节要点

前言

U1 线性代数

1. 代数的意义

2. 线性的意义

3. 多元线性函数的几何意义

4. 线性变换的几何意义

5. 线代的应用

笔记链接汇总

【线代】《线性代数的几何意义》——摘录笔记（一）相关推荐

最新文章

热门文章