1.概念

1）外测度定义：设集合 $E\in \mathbb{R}$ 为有界集，称

$m^{*}(E)=\inf\left \{ \left.\sum_{i=1}^{\infty}(b_{i}-a_{i})|E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}(a_{i},b_{i}) \right \} \right.$

为 $E$ 的外测度。

2）可测度定义：设集合 $E\subset\mathbb{R}$ 为有界集， $m^{*}(E)$ 为 $E$ 的外测度。如果外测度满足可加性：

$m^{*}(A\cup B)=m^{*}(A)+m^{*}(B)\: (\forall A\subset E, \forall B\subset \mathbb{R}\setminus E)$

则称 $E$ 为可测集。 $m(E)=m^{*}(E)$ 为 $E$ 的勒贝格测度，简称测度。

3）可测函数定义：设 $f$ 是可测集 $E$ 上的广义实函数（函数值可取 $\pm \inf$ ），若 $\forall a \in \mathbb{R}$ ，有

$E(f(x)\le a)=\left \{ x\in E | f(x)\le a \right \}$

为可测集，则称 $f$ 为 $E$ 上的可测函数。

2.证明

例1.4.15：可测集上的连续函数都是可测函数。

证明：

要证可测集上的连续函数 $f(x)$ 是可测函数，即证对 $\forall a\in\mathbb{R}$ ， $E(f(x)\le a)$ 为可测集。

对 $\forall a\in\mathbb{R}$ ，由 $f(x)$ 的连续性，可知 $\forall x\in E(f(x)\le a)$ ， $\exists x$ 的某一邻域 $U(x)$ ，有

$U(x)\cap E\subset E(f(x)\le a)$

(1)

不妨令

$G=\bigcup_{x\in E(f(x)\le a)} U(x)$

(2)

下证 $G\cap E=E(f(x)\le a)$ 。

①证 $G\cap E\subset E(f(x)\le a)$ ：

$G\cap E=\left [ \bigcup_{x\in E(f(x)\le a)} U(x)\right ]\cap E=\bigcup_{x\in E(f(x)\le a)} \left [ U(x)\cap E \right ]$

由(1)式可知，

$\bigcup_{x\in E(f(x)\le a)} \left [ U(x)\cap E \right ]\subset\bigcup_{x\in E(f(x)\le a)} E(f(x)\le a)=E(f(x)\le a)$

故 $G\cap E\subset E(f(x)\le a)$ 得证。

②要证 $E(f(x)\le a)\subset G\cap E$ ，即证 $E(f(x)\le a)\subset G$ 。

由(2)式，显然 $\forall x\in E(f(x)\le a)$ ，有 $x\in G$ 。

故 $G\cap E\subset E(f(x)\le a)$ 得证。

由①②可知： $G\cap E= E(f(x)\le a)$

$G$ 为一系列开集 $U(x)$ 的并，仍为开集。由于 $\mathbb{R}$ 中开集与闭集都是可测集，故 $G$ 为可测集。

由题可知 $E$ 为可测集。

故 $G\cap E$ 为可测集（有限个可测集的交为可测集）

故对 $\forall a\in\mathbb{R}$ ， $E(f(x)\le a)$ 为可测集， $f$ 为可测函数 #

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