圆柱坐标轴对称热弹性体基本方程

文章目录

1.基本方程式
2.空心圆筒热应力

1.基本方程式

圆柱坐标以r、θ、zr、\theta、zr、θ、z确定空间一点位置，其与直角坐标系转化关系为：
{x=rcosθy=rsinθz=zr=x2+y2θ=arctanyx(1-1)\begin{cases} x=r cos\theta\\y=r sin \theta\\ z=z\\ r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=arctan \frac yx \end{cases}\tag{1-1}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x=rcosθy=rsinθz=zr=x2+y2θ=arctanxy(1-1)

当忽略外力影响，即合外力为零时，有：

{∂σr∂r+∂τzr∂z+σr−σθr=0∂σz∂z+∂τrz∂r+τrzr=0(1-2)\begin{cases} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r}+\frac{\partial \tau_{zr}}{\partial z}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0\\[1.5ex] \frac{\partial \sigma_z}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{rz}}{\partial r}+\frac{\tau_{rz}}{r}=0 \end{cases}\tag{1-2}⎩⎨⎧∂r∂σr+∂z∂τzr+rσr−σθ=0∂z∂σz+∂r∂τrz+rτrz=0(1-2)

应变与位移的关系如下：

ε={εrεθεzγzr}={∂u∂rur∂w∂z∂w∂r+∂u∂z}(1-3)\varepsilon=\begin{Bmatrix} \varepsilon_r\\ \varepsilon_\theta \\ \varepsilon_z\\ \gamma_{zr} \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial r}\\[1.2ex] \frac u r \\[1.2ex] \frac{\partial w}{\partial z}\\[1.2ex] \frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z} \end{Bmatrix}\tag{1-3}ε=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧εrεθεzγzr⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∂r∂uru∂z∂w∂r∂w+∂z∂u⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎫(1-3)

当引入热应力时，这里假设温度变化为 t ，并且 t 只是 r 的函数，即：t=t(r)t=t(r)t=t(r)，与 z 轴无关。对于各向同性体，有：εr0=εθ0=εz0=αt,γzr0=0\varepsilon_{r0}=\varepsilon_{\theta0}=\varepsilon_{z0}=\alpha t,\gamma_{zr0}=0εr0=εθ0=εz0=αt,γzr0=0。从而可得出应变公式为：

{εr=1E[σr−μ(σθ+σz)]+αtεθ=1E[σθ−μ(σr+σz)]+αtεz=1E[σz−μ(σr+σθ)]+αtγzr=τzrG(1-4)\begin{cases} \varepsilon_r=\frac{1}{E}[\sigma_r-\mu(\sigma_\theta+\sigma_z)]+\alpha t\\[1.2ex] \varepsilon_\theta=\frac{1}{E}[\sigma_\theta-\mu(\sigma_r+\sigma_z)]+\alpha t\\[1.2ex] \varepsilon_z=\frac{1}{E}[\sigma_z-\mu(\sigma_r+\sigma_\theta)]+\alpha t\\[1.2ex] \gamma_{zr}=\frac{\tau_{zr}}{G} \end{cases}\tag{1-4}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧εr=E1[σr−μ(σθ+σz)]+αtεθ=E1[σθ−μ(σr+σz)]+αtεz=E1[σz−μ(σr+σθ)]+αtγzr=Gτzr(1-4)

将应力表示为应变与温差的函数：

{σr=E(1+μ)(1−2μ)[(1−μ)εr+μ(εθ+εz)]−Eαt1−2μσθ=E(1+μ)(1−2μ)[(1−μ)εθ+μ(εz+εr)]−Eαt1−2μσz=E(1+μ)(1−2μ)[(1−μ)εz+μ(εr+εθ)]−Eαt1−2μτzr=Gγzr=E2(1+μ)γzr(1-5)\begin{cases} \sigma_r=\frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)}\left[(1-\mu)\varepsilon_r+\mu(\varepsilon_{\theta}+\varepsilon_z)\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu}\\[1.2ex] \sigma_\theta=\frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)}\left[(1-\mu)\varepsilon_\theta+\mu(\varepsilon_{z}+\varepsilon_r)\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu}\\[1.2ex] \sigma_z=\frac{E}{(1+\mu)(1-2\mu)}\left[(1-\mu)\varepsilon_z+\mu(\varepsilon_{r}+\varepsilon_\theta)\right]-\frac{E\alpha t}{1-2\mu}\\[1.2ex] \tau_{zr}=G\gamma_{zr}=\frac E{2(1+\mu)}\gamma_{zr} \end{cases} \tag{1-5}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧σr=(1+μ)(1−2μ)E[(1−μ)εr+μ(εθ+εz)]−1−2μEαtσθ=(1+μ)(1−2μ)E[(1−μ)εθ+μ(εz+εr)]−1−2μEαtσz=(1+μ)(1−2μ)E[(1−μ)εz+μ(εr+εθ)]−1−2μEαtτzr=Gγzr=2(1+μ)Eγzr(1-5)

可根据式（1-3）将式 (1-5) 整理成位移形式：
{σr=2G[1−μ1−2μ∂u∂r+μ1−2μ(ur+∂w∂z)−βt]σθ=2G[1−μ1−2μur+μ1−2μ(∂w∂z+∂u∂r)−βt]σz=2G[1−μ1−2μ∂w∂z+μ1−2μ(∂u∂r+ur)−βt]τzr=G(∂w∂r+∂u∂z)(1-6)\begin{cases} \sigma_r=2G \left[ \frac{1-\mu}{1-2\mu}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\mu}{1-2\mu}(\frac{u}{r}+\frac{\partial w}{\partial z})-\beta t \right]\\ \sigma_\theta=2G \left[ \frac{1-\mu}{1-2\mu}\frac{u}{ r}+\frac{\mu}{1-2\mu}(\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial r})-\beta t \right]\\ \sigma_z=2G \left[ \frac{1-\mu}{1-2\mu}\frac{\partial w}{\partial z}+\frac{\mu}{1-2\mu}(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac ur)-\beta t \right]\\ \tau_{zr}=G(\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial z}) \end{cases}\tag{1-6}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧σr=2G[1−2μ1−μ∂r∂u+1−2μμ(ru+∂z∂w)−βt]σθ=2G[1−2μ1−μru+1−2μμ(∂z∂w+∂r∂u)−βt]σz=2G[1−2μ1−μ∂z∂w+1−2μμ(∂r∂u+ru)−βt]τzr=G(∂r∂w+∂z∂u)(1-6)

其中，β\betaβ 为热应力系数，β=αE1−2μ\beta=\frac{\alpha E}{1-2\mu}β=1−2μαE。

2.空心圆筒热应力

令：

空心圆筒内径为 rir_iri，外径为 rer_ere；
圆通两端为自由端，无外力作用；
温度变化场对称于中心轴。

假设:温度变化 t 仅是 r 的函数，与轴向坐标 z 无关，则;剪应力τzr=0\tau_{zr}=0τzr=0，则式（1-2）可简化为：

{∂σr∂r+σr−σθr=0∂σz∂z=0(2-1)\begin{cases} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0\\[1.5ex] \frac{\partial \sigma_z}{\partial z}=0 \end{cases}\tag{2-1}⎩⎨⎧∂r∂σr+rσr−σθ=0∂z∂σz=0(2-1)

根据式（1-6)，式(2-1) 可整理为：

{2G1−μ1−2μ∂2u∂r2+2Gμ1−2μ(1r∂u∂r−ur2)+2G(1r∂u∂r−ur2)−β∂t∂r=01−μ1−2μ∂2w∂z2+μ1−2μ∂∂z(∂u∂r+ur)−β∂t∂z=0(2-2)\begin{cases} 2G\frac{1-\mu}{1-2\mu}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+2G\frac{\mu}{1-2\mu}(\frac 1r \frac{\partial u}{\partial r}-\frac u{r^2})+2G(\frac 1r \frac{\partial u}{\partial r}-\frac u{r^2})-\beta\frac{\partial t}{\partial r}=0\\[2ex] \frac{1-\mu}{1-2\mu}\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}+\frac{\mu}{1-2\mu}\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial r}+\frac ur)-\beta \frac{\partial t}{\partial z}=0 \end{cases}\tag{2-2}⎩⎨⎧2G1−2μ1−μ∂r2∂2u+2G1−2μμ(r1∂r∂u−r2u)+2G(r1∂r∂u−r2u)−β∂r∂t=01−2μ1−μ∂z2∂2w+1−2μμ∂z∂(∂r∂u+ru)−β∂z∂t=0(2-2)

考虑到轴对称特点，位移 u、温度 t 仅是 r 的函数，位移 w 仅是 z 的函数，则式(2-2)可整理为：

{d2udr2+1rdudr−ur2=1+μ1−μαdtdrd2wdz2=0(2-3)\begin{cases} \frac{d^2 u}{d r^2}+\frac 1r \frac{d u}{d r}-\frac u{r^2}=\frac{1+\mu}{1-\mu}\alpha \frac{d t}{d r}\\[2ex] \frac{d^2 w}{d z^2}=0 \end{cases}\tag{2-3}⎩⎨⎧dr2d2u+r1drdu−r2u=1−μ1+μαdrdtdz2d2w=0(2-3)

由于

dεzdw=d2wdz2=0(2-4)\frac{d \varepsilon_z}{d w}=\frac{d^2 w}{d z^2}=0\tag{2-4}dwdεz=dz2d2w=0(2-4)

固轴向应变分量

εz≈dwdz=k(任一常数)(2-5)\varepsilon_z\approx\frac{d w}{d z}=k(任一常数)\tag{2-5}εz≈dzdw=k(任一常数)(2-5)

同时，式(2-3)第一项可改写为:

ddr[1rd(ru)dr]=1+μ1−μαdtdr(2-6)\frac{d}{d r}[\frac 1r \frac{d(ru)}{d r}]=\frac{1+\mu}{1-\mu}\alpha \frac{d t}{d r}\tag{2-6}drd[r1drd(ru)]=1−μ1+μαdrdt(2-6)

对上式积分两次，有：

u=1+μ1−μαr∫riretrdr+c1r+c2r(2-7)u=\frac{1+\mu}{1-\mu}\frac{\alpha}{r}\int_{r_i}^{r_e}trdr+c_1r+\frac{c_2}{r}\tag{2-7}u=1−μ1+μrα∫riretrdr+c1r+rc2(2-7)

式（2-7）的微分形式为：

dudr=1+μ1−μαt+c1−c2r2(2-8)\frac{du}{dr}=\frac{1+\mu}{1-\mu}\alpha t+c_1-\frac{c_2}{r^2}\tag{2-8}drdu=1−μ1+μαt+c1−r2c2(2-8)

将式(2-7)、（2-8）代入式（1-6）中，再根据应力边界条件即可求得参数c1、c2c_1、c_2c1、c2，进而求得应力微分方程。

相应地，对于：

圆柱热应力，只需令 ri=0r_i=0ri=0 即可；
圆盘热应力，轴向尺寸较小，忽略其应力应变，σz=0\sigma_z=0σz=0;