透射变换

序

学习了透视变换，有些时候也称作透射变换，可能是类似于仿射变化这种叫法吧。
在网上查到的资料大多又臭又长，看了半天仍然是一知半解，所以自己整理了一篇精简的笔记出来。
以前不知道Z到底是怎么出来的，计算的时候Z完全当成1来看待。研究了好久才知道最终变换结果并非下文的X和Y，而是利用Z计算出的下文中的x’、y’。希望看到这篇笔记的朋友能够规避这个坑。(别像我一样掉进去)
爷爷们，给个点赞给个三联吧，谢谢！

变换矩阵和变换公式

透视变换（Perspective Transformation）是将二维的图片投影到一个三维视平面上，然后再转换到二维坐标下，所以也称为投影映射（Projective Mapping）。简单来说就是二维→三维→二维的一个过程。
透视变换矩阵表示：
[XYZ]=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3][xy1]\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} ⎣⎡XYZ⎦⎤=⎣⎡a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎦⎤⎣⎡xy1⎦⎤
其中，X，Y，Z代表透射变换后的三个坐标，x、y代表透射变换前的2维坐标
可以得到公式形式：
{X=a1x+b1y+c1Y=a2x+b2y+c2Z=a3x+b3y+c3\left\{\begin{aligned} X&=&a_1x+b_1y+c_1\\ Y&=&a_2x+b_2y+c_2\\ Z&=&a_3x+b_3y+c_3 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧XYZ===a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2a3x+b3y+c3
因为计算出后是一个3维坐标，所以我们要利用Z将值转换到2维坐标中
{x′=XZ=a1x+b1y+c1a3x+b3y+c3y′=YZ=a2x+b2y+c2a3x+b3y+c3\left\{\begin{aligned} x'&=&\frac{X}{Z}&=&\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_3x+b_3y+c_3}\\ y'&=&\frac{Y}{Z}&=&\frac{a_2x+b_2y+c_2}{a_3x+b_3y+c_3} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x′y′==ZXZY==a3x+b3y+c3a1x+b1y+c1a3x+b3y+c3a2x+b2y+c2
于是x‘和y’是二位透透射变换的最终计算结果
其中c3=1

计算矩阵参数：
可以得到通式：
{−a1x+a3xx′−b1y+b3yx′−c1=−1−a2x+a3xy′−b2y+b3yy′−c2=−1\left\{\begin{aligned} -a_1x&&+a_3xx'&-b_1y&&+b_3yx'&-c_1&&=-1\\ &-a_2x&+a_3xy'&&-b_2y&+b_3yy'&&-c_2&=-1\\ \end{aligned}\right. {−a1x−a2x+a3xx′+a3xy′−b1y−b2y+b3yx′+b3yy′−c1−c2=−1=−1
将4个点带入通式组成线性方程组，则可用克拉默法则计算出相应参数

撰写时间

20210727

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