二分查找时间复杂度及其Python实现

二分查找假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

优点：比较次数少，查找速度快，平均性能好；
缺点：要求待查表为有序顺序表，且插入删除困难。
二分查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
二分查找最优时间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1)，最坏时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。
假设总共有 n n n个元素，查找操作次数为 k k k，则每次查找的区间大小就是 n , n 2 , n 4 , … , n 2 k n,\frac{n}{2},\frac{n}{4},…,\frac{n}{2^k} n,2n,4n,…,2kn（接下来操作元素的剩余个数）。最好第一次操作就找到元素，时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)，最坏最后剩余的一个元素才是要查找的元素，即 n 2 k = 1 ⟹ k = l o g 2 n \frac{n}{2^k}=1\Longrightarrow k=log_2n 2kn=1⟹k=log2n（假设是整数），时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)

递归实现二分查找

# 返回 x 在 arr 中的索引，如果不存在返回 -1
def binarySearch (arr, l, r, x): # 基本判断if l <= r: mid = (l+r)//2# 元素整好的中间位置if arr[mid] == x: return mid # 元素小于中间位置的元素，只需要再比较左边的元素elif arr[mid] > x: return binarySearch(arr, l, mid-1, x) # 元素大于中间位置的元素，只需要再比较右边的元素else: return binarySearch(arr, mid+1, r, x) else: # 不存在return -1# 函数调用
result = binarySearch(arr, 0, len(arr)-1, x)

非递归实现二分查找

def binarySearch (arr, x): n=len(arr)l,r=0,n-1while l<=r:mid=(l+r)//2if arr[mid]==x:return midelif arr[mid]>xr=mid-1else:l=mid+1return -1

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