以下公式推导参考：传送门
机器狗结构设计参考：灯哥菠萝狗

1.运动学正解与逆解含义

2.求解肩部的旋转量 γ \gamma γ

在yOz平面内

与实际机器狗的腿部进行对照
下图中直线的实际长度均为在平面yOz中的投影

已知：y，z，h

求解中间量： d ， l ， γ 1 ， γ 2 d，l，\gamma_1，\gamma_2 d，l，γ1，γ2

求解最终量： γ \gamma γ
求解过程：

d = y 2 + z 2 d=\sqrt{y^2+z^2} d=y2+z2
l = d 2 − h 2 l=\sqrt{d^2-h^2} l=d2−h2
γ 1 = − a r c t a n h l \gamma_1=-arctan\frac{h}{l} γ1=−arctanlh
γ 2 = − a r c t a n y z \gamma_2=-arctan\frac{y}{z} γ2=−arctanzy
γ = γ 2 − γ 1 \gamma=\gamma_2-\gamma_1 γ=γ2−γ1

3.求解小腿的旋转量 β \beta β

在xOz平面中

与实际机器狗的腿部进行对照
下图中直线的实际长度均为在平面xOz中的投影

已知：l，ｘ，hl（大腿长度），hu（小腿长度）

求解中间量：n
求解最终量： β \beta β
求解过程：

s = l 2 + x 2 s=\sqrt{l^2+x^2} s=l2+x2

( h u + n ) 2 + m 2 = s 2 ( 1 ) (hu+n)^2+m^2=s^2 \quad (1) (hu+n)2+m2=s2(1)
n 2 + m 2 = h l 2 ( 2 ) n^2+m^2=hl^2 \quad(2) n2+m2=hl2(2)
式(1)减去式(2)
[ ( h u + n ) 2 + m 2 ] − ( n 2 + m 2 ) = s 2 − h l 2 [(hu+n)^2+m^2]-(n^2+m^2)=s^2-hl^2 [(hu+n)2+m2]−(n2+m2)=s2−hl2
2 ⋅ h u ⋅ n + h u 2 = s 2 − h l 2 2 \cdot hu \cdot n + hu^2 = s^2 -hl^2 2⋅hu⋅n+hu2=s2−hl2
n = s 2 − h l 2 − h u 2 2 h u n=\frac{s^2-hl^2-hu^2}{2hu} n=2hus2−hl2−hu2
β = − a r c c o s n h l \beta=-arccos\frac{n}{hl} β=−arccoshln

4.求解大腿的旋转量 α \alpha α

在xOz平面中

与实际机器狗的腿部进行对照
下图中直线的实际长度均为在平面xOz中的投影
已知：x，l，hu（大腿长度），n，s

求解中间量： α 1 ， α 2 \alpha_1，\alpha_2 α1，α2

求解最终量： α \alpha α

求解过程：
α 1 = − a r c t a n x l \alpha_1=-arctan\frac{x}{l} α1=−arctanlx
α 2 = a r c c o s h u + n s \alpha_2=arccos\frac{hu+n}{s} α2=arccosshu+n
α = α 1 + α 2 \alpha=\alpha_1+\alpha_2 α=α1+α2

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