基本的LC串联和并联振荡电路分析

LC串联振荡电路

原理分析：第一阶段：初始状态：合上开关，iL=0，uC=0V，uL=12V，diL/dt=+max，之后：电感电流逐渐增大，电容电压逐渐增大，电感电压逐渐减小，电感电流变化率逐渐减小，电源向电感充磁，向电容充电；第二阶段：初始状态：iL=+max，diL/dt=0，uL=0V，uC=12V，之后：由于电感电流不能突变，因此电感电流逐渐减小，电感电流的变化率逐渐增大，电感电压反向且逐渐增大，电容电压继续增加，uC=12+uL，电感向电容充电，电感消磁；第三阶段：初始状态：iL=0，uL=-12V，diL/dt=max，uC=24V，之后：由于电容电压不能突变，因此电容电压逐渐减小，电感电流逐渐增大，电感电压逐渐减小，电感电流变化率逐渐减小，电容向电感充磁，电容放电；第四阶段：初始状态：iL=-max，uL=0V，diL/dt=0，uC=12V，之后：由于电感电流不能突变，因此电感电流逐渐减小，电感电压逐渐增大，电感电流变化率逐渐增大，电容电压逐渐减小，电感消磁，电容放电。

数学分析:
1、假设电感初始电流为IL0{I}_{L0}IL0，电容初始电压为UC0{U}_{C0}UC0。
电路的微分方程为：LdiLdt+uC=usL\frac{d{i}_{L}}{dt}+{u}_{C}={u}_{s}LdtdiL+uC=us CduCdt=iLC\frac{d{u}_{C}}{dt}={i}_{L}CdtduC=iL us为直流电压源电压。
解方程得：iL（t）=IL0cosωt+us−UC0Zsinωt{i}_{L}（t）={I}_{L0} cos \omega t+ \frac{{u}_{s} -{U}_{C0} }{Z} sin \omega t iL（t）=IL0cosωt+Zus−UC0sinωt uC（t）=us−（us−UC0）cosωt+ZIL0sinωt{u}_{C}（t）={u}_{s} - （{u}_{s}-{U}_{C0}） cos \omega t+ Z {I}_{L0} sin \omega t uC（t）=us−（us−UC0）cosωt+ZIL0sinωt
式中：ω\omegaω是谐振角频率，ω=1/LC\omega = 1 / \sqrt{LC}ω=1/LC，谐振频率f=12πLCf=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}f=2πLC1，Z是谐振电感和谐振电容得特性阻抗 Z=LCZ=\sqrt{\frac{L}{C}}Z=CL。
2、假设电感初始电流为0，电容初始电压为0。
解方程得：iL（t）=usZsinωt{i}_{L}（t）= \frac{{u}_{s}}{Z} sin \omega t iL（t）=Zussinωt uC（t）=us−uscosωt{u}_{C}（t）={u}_{s} - {u}_{s}cos \omega t uC（t）=us−uscosωt

LC串联振荡电路波形：

余弦波（channel_B）为电感电压，半波（channel_A）为电容电压。

LC串联振荡电路+电阻

LC串联振荡电路+电阻波形：

电路工作在欠阻尼R<2L/CR<2\sqrt{L/C}R<2L/C状态。

LC并联振荡电路

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