Difference between Triplets POJ

题意

对于每一个三元组：Ta=(Ia,Ja,Ka),Tb=(Ib,Jb,Kb)T_a=(I_a,J_a,K_a),T_b=(I_b,J_b,K_b)Ta=(Ia,Ja,Ka),Tb=(Ib,Jb,Kb)定义：
D(Ta,Tb)=max⁡{Ia−Ib,Ja−Jb,Ka−Kb}−min⁡{Ia−Ib,Ja−Jb,Ka−Kb}D(T_a,T_b)=\max\{I_a-I_b,J_a-J_b,K_a-K_b\}-\min\{I_a-I_b,J_a-J_b,K_a-K_b \} D(Ta,Tb)=max{Ia−Ib,Ja−Jb,Ka−Kb}−min{Ia−Ib,Ja−Jb,Ka−Kb}
求 ∑i=1N∑j=i+1ND(Ti,Tj)\sum_{i=1}^{N}{\sum_{j=i+1}^{N}{D(T_i,T_j)}}∑i=1N∑j=i+1ND(Ti,Tj) 的值。
数据范围：N≤2×105N\leq 2\times 10^5N≤2×105，每个元素的范围：[−106,106][-10^6,10^6][−106,106]

分析

关键在于公式的化简：
max⁡(a,b,c)−min⁡(a,b,c)=∣a−b∣+∣a−c∣+∣b−c∣2\max(a,b,c)-\min(a,b,c)=\frac{|a-b|+|a-c|+|b-c|}{2} max(a,b,c)−min(a,b,c)=2∣a−b∣+∣a−c∣+∣b−c∣
代入三元组，可得：
D(Ta,Tb)=∣(Ia−Ja)−(Ib−Jb)∣+∣(Ja−Ka)−(Jb−Kb)∣+∣(Ia−Ka)−(Ib−Kb)∣2D(T_a,T_b)=\frac{|(I_a-J_a)-(I_b-J_b)|+|(J_a-K_a)-(J_b-K_b)|+|(I_a-K_a)-(I_b-K_b)|}{2} D(Ta,Tb)=2∣(Ia−Ja)−(Ib−Jb)∣+∣(Ja−Ka)−(Jb−Kb)∣+∣(Ia−Ka)−(Ib−Kb)∣
现在，我们要想办法去掉绝对值。对每个 TiT_iTi，求出 (Ii−Ji),(Ii−Ki),(Ji−Ki)(I_i-J_i),(I_i-K_i),(J_i-K_i)(Ii−Ji),(Ii−Ki),(Ji−Ki)，然后分别从小到大排序。对于 (Ii−Ji)(I_i-J_i)(Ii−Ji)，假设它出现在排列后的第 xxx 个位置，那么他对最后的答案会有 x−1x-1x−1 个正的贡献，n−xn-xn−x 个负的贡献，最终的贡献为 2x−n−12x-n-12x−n−1。对其它两个同样处理，即可得到结果。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int a[N],b[N],c[N];
int main(){int n;while(scanf("%d",&n),n!=0){for(int i=1;i<=n;i++){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);a[i]=x-y;b[i]=x-z;c[i]=y-z;}sort(a+1,a+1+n);sort(b+1,b+1+n);sort(c+1,c+1+n);ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans+=1LL*(2*i-n-1)*a[i];ans+=1LL*(2*i-n-1)*b[i];ans+=1LL*(2*i-n-1)*c[i];}printf("%lld\n",ans/2);}return 0;
}

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Difference between Triplets POJ - 3244

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