6.4.2有约束最优化问题的求解-东北大学数学系

第6章利用MATLAB语言求解科学运算问题

东北大学信息学院 薛定宇

本课程参考书

薛定宇、陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，2004,2008，清华大学出版社 (用于以后求解问题参考)

MATLAB语言符号运算局限性：

目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系统上必须安装32位版MATLAB

从MATLAB 2008b开始，符号运算放弃了Maple内核，改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了

本章内容提要(内容多，因学时限制，入门介绍)(详细内容查阅参考教材)

解析解与数值解 ch1

线性代数问题求解 ch4 简单介绍

非线性方程求解 ch6

最优化问题求解 ch6

微分方程求解 ch7

数据插值、处理与拟合 ch8

其他应用

6.1 解析解与数值解

由已知公式一步步推导出的解

例如，高等数学计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机

解析解不存在或不现实，需要数值解

不存在

不存在 p，工程应用3.14159即可

高阶矩阵的行列式，计算量

6.2 线性代数问题的计算机求解

矩阵分析问题由简单命令即可

行列式 det(A)

特征值 eig(A)，[v,d]=eig(A)

逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A)

范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf)

特征多项式系数 poly(A)

函数调用方法

eig(A), eig(sym(A))

6.2.2 其他线性代数问题求解

线性代数方程求解

解的判定矩阵

三种情况

唯一解

无穷多解

无解，最小二乘解

Lyapunov方程、Riccati方程等

lyap、are等函数可以直接求解

矩阵函数求解

6.3 非线性方程求解

非线性方程的解析解

什么时候存在解析解？

单变量多项式方程

可以转换成单变量多项式方程的多元方程

准解析解

非线性方程的数值解

图解法

任意指定初值进行搜索求解

非线性矩阵方程的求解

6.3.1 非线性方程的解析解求解

MATLAB的solve函数可以求解方程

简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解

数学问题

MATLAB求解语句

复杂例子

数学形式

MATLAB求解语句(准解析解)

解的检验

另一个复杂例子

求解

检验

非线性方程的准解析解

考虑非线性方程

求解

验证

问题：该方程只有这一个解吗？

6.3.2 一元、二元方程的图解法

图解法只适合求解一元、二元方程

利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on，可以把联立方程的解画在一个坐标系下

重解前例

MATLAB语句

6.3.3 一般非线性方程的数值求解

方程的标准型

其中， 均是列向量或矩阵，维数相同

求解步骤：

选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式

编写MATLAB程序描述原方程

*.m函数形式、inline函数、匿名函数形式

调用fsolve函数求解方程

求解实例，仍考虑前面例子

选择变量 ，则

向量形式

用MATLAB描述

匿名函数描述

MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件

求解、验证

提高求解精度

停止迭代条件

TolX

TolFun

MaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步

设置方法

求解、检验

寻找其他解：换初值

6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解

能直接求解矩阵方程

举例，扩展Riccati方程

其中

求解、检验、其他解

6.3.5 求解方法比较、总结

图解法

局限性：一元二元，精度低

优点：显示出感兴趣区域全部实根

准解析解方法

局限性：多项式类方程、不能选择初值

优点：全部根包括复根、精度高

一般数值解法

局限性：实根、依赖于初值

优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程

6.4 最优化问题求解

无约束最优化问题

有约束最优化问题

特殊问题

线性规划

二次型规划

一般问题

进化算法及其全局最优解法

整数规划、混合整数规划、0-1规划

动态规划与最短路径求解

6.4.1 无约束最优化问题求解

数学形式 ，最大值问题的变换

物理意义介绍

目标函数描述

匿名函数、M函数

MATLAB求解

无约束最优化求解举例

求解步骤

变换成标准型，引入 ，则

描述目标函数

求解

图形验证

中间

过程

带有变量边界约束的最优化问题

数学描述

问题求解方法

可以按照有约束最优化问题求解

利用免费工具箱求解

/matlabcentral/fileexchange/

loadFile.do?objectId=8277&objectType=file

最优化问题求解其