青蛙的约会 --解法
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061
此题其实就是扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程。
设过s步后两青蛙相遇,则必满足以下等式:
(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)
稍微变一下形得:
(n-m)*s+k*l=x-y
令n-m=a,k=b,x-y=c,即
a*s+b*l=c
只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能。
首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值,看是否存在s,l的整数解,若存在则输入最小的s,
但显然这种方法是不可取的,谁也不知道最小的s是多大,如果最小的s很大的话,超时是明显的。
其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决,先来看下什么是欧几里德扩展原理:
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
d | b , d |r ,但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式:
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现:
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y).
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下:
求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解;
3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
下面来看看我这题的代码:
# include <stdio.h>
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)
{
if(b==0)
{
m=1;
n=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b,m,n);
__int64 t;
t=m;
m=n;
n=t-a/b*n;
}
int main()
{
__int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
{
a=n-m;
b=l;
c=x-y;
r=gcd(a,b);
if(c%r)
{
printf("Impossible/n");
continue;
}
a/=r;
b/=r;
c/=r;
exgcd(a,b,k1,k2);
t=c*k1/b;//注1
k1=c*k1-t*b;
if(k1<0)
k1+=b;
printf("%I64d/n",k1);
}
return 0;
}
注1:(做废) 此时方程的所有解为:x = c * k1 + b * t,令x=0可求出当x最小时的t的取值,这样求出的x可能小于0,当其小于0时加上b即可。
注1:(原注1做废)
此时方程的所有解为:x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0,令x=0可求出当x最小时的t的取值,但由于x=0是可能的最小取值,实际上可能x根本取不到0,那么由计算机的取整除法可知:由 t=c*k1/b算出的t,代回x=c*k1-b*t中,求出的x可能会小于0,此时令t=t+1,求出的x必大于0;如果代回后x仍是大于等于0的,那么不需要再做修正。
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