L1、L2正则化来源推导

L1L2的推导可以从两个角度：

带约束条件的优化求解（拉格朗日乘子法）
贝叶斯学派的：最大后验概率

1.1 基于约束条件的最优化

对于模型权重系数w的求解释通过最小化目标函数实现的，也就是求解：

首先，模型的复杂度可以用VC来衡量。通常情况下，模型VC维与系数w的个数成线性关系：即：

w数量越多，VC越大，模型越复杂

为了限制模型的复杂度，我们要降低VC，自然的思路就是降低w的数量，即：

让w向量中的一些元素为0或者说限制w中非零元素的个数。我们可以在原优化问题上加入一些优化条件：

其中约束条件中的||w||0是指L0范数，表示的是向量w中非零元素的个数，让非零元素的个数小于某一个C，就能有效地控制模型中的非零元素的个数，但是这是一个NP问题，不好解，于是我们需要做一定的“松弛”。为了达到我们想要的效果（权重向量w中尽可能少的非零项），我们不再严格要求某些权重w为0，而是要求权重w向量中某些维度的非零参数尽可能接近于0，尽可能的小，这里我们可以使用L1L2范数来代替L0范数，即：

注意哈：这里使用L2范数的时候，为了后续处理（其实就是为了优化），可以对 $\left \| w \right \|_{2}$ 进行平方，只需要调整C的取值即可。

然后我们利用拉式乘子法求解：

其中这里的 $\alpha$ 是拉格朗日系数， $\alpha$ >0，我们假设 $\alpha$ 的最优解为 $\alpha ^{*}$ ，对拉格朗日函数求最小化等价于：

上面和

等价。所以我们这里得到对L1L2正则化的第一种理解：

L1正则化h $\rightleftharpoons$ 在原优化目标函数中增加约束条件 $\left \| w \right \|_{1 }\leq C$

L2正则化 $\rightleftharpoons$ 在原优化目标函数中增加约束条件 $\left \| w \right \|{_{2}^{2}}\leq C$

1.2基于最大后验概率估计

在最大似然估计中，是假设权重w是未知的参数，从而求得对数似然函数（取了log）：

从上式子可以看出：假设y^{i}的不同概率分布，就可以得到不同的模型。

若我们假设：

的高斯分布，我们就可以带入高斯分布的概率密度函数：

上面的C为常数项，常数项和系数不影响我们求解 $maxl(w)$ 的解，所以我们可以令

我们就得到了Linear Regursion的代价函数。

在最大化后验概率估计中，我们将权重w看做随机变量，也具有某种分布，从而有：

同样取对数：

可以看出来后验概率函数为在似然函数的基础上增加了logP(w)，P（w）的意义是对权重系数w的概率分布的先验假设，在收集到训练样本{X，y}后，则可根据w在{X，y}下的后验概率对w进行修正，从而做出对w的更好地估计。

若假设 $w_{j}$ 的先验分布为0均值的高斯分布，即

则有：

可以看到，在高斯分布下的效果等价于在代价函数中增加L2正则项。

若假设 $w_{j}$ 服从均值为0，参数为a的拉普拉斯分布，即：

则有：

可以看到，在拉普拉斯分布下logP(w)的效果等价在代价函数中增加L1正项。

故此，我们得到对于L1，L2正则化的第二种理解：

L1正则化可通过假设权重w的先验分布为拉普拉斯分布，由最大后验概率估计导出。

L2正则化可通过假设权重w的先验分布为高斯分布，由最大后验概率估计导出。

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