©PaperWeekly 原创 · 作者｜苏剑林

单位｜追一科技

研究方向｜NLP、神经网络

L2 正则是机器学习常用的一种防止过拟合的方法（应该也是一道经常遇到的面试题）。简单来说，它就是希望权重的模长尽可能小一点，从而能抵御的扰动多一点，最终提高模型的泛化性能。但是读者可能也会发现，L2 正则的表现通常没有理论上说的那么好，很多时候加了可能还有负作用。

最近的一篇文章 Improve Generalization and Robustness of Neural Networks via Weight Scale Shifting Invariant Regularizations 从“权重尺度偏移”这个角度分析了 L2 正则的弊端，并提出了新的 WEISSI 正则项。整个分析过程颇有意思，在这里与大家分享一下。

论文标题：Improve Generalization and Robustness of Neural Networks via Weight Scale Shifting Invariant Regularizations

论文链接：https://arxiv.org/abs/2008.02965

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这一节中我们先简单回顾一下 L2 正则，然后介绍它与权重衰减的联系以及与之相关的 AdamW 优化器 [1] 。

1.1 L2正则的理解

为什么要添加 L2 正则？这个问题可能有多个答案。有从 Ridge 回归角度回答的，有从贝叶斯推断角度回答的，这里给出从扰动敏感性的角度的理解。

对于两个（列）向量 ，我们有柯西不等式 。根据这个结果，我们就可以证明：

这里的 等于矩阵 的所有元素的平方和。证明并不困难，有兴趣的读者自行完成。

这个结果告诉我们： 的变化量，可以被 和 控制住，因此如果我们希望 很小时 的变化量也尽可能小，那么我们可以降低 ，这时候就可以加入正则项 。

不难发现，这其实就是 L2 正则。这个角度的相关讨论还可以参考深度学习中的Lipschitz约束：泛化与生成模型（不过要注意两篇文章的记号略有不同）。

1.2 AdamW优化器

在使用 SGD 进行优化时，假设原来的迭代为 ，那么不难证明加入 L2 正则 后变成了：

由于 ，所以这会使得整个优化过程中参数 有“收缩”到 0 的倾向，这样的改动称为“权重衰减（Weight Decay）”。

不过，L2 正则与权重衰减的等价性仅仅是在 SGD 优化器下成立，如果用了自适应学习率优化器如 Adagrad、Adam 等，那么两者不等价。在自适应学习率优化器中，L2 正则的作用约等于往优化过程里边加入 而不是 。

也就是说每个元素的惩罚都很均匀，而不是绝对值更大的元素惩罚更大，这部分抵消了 L2 正则的作用。论文 Decoupled Weight Decay Regularization [1] 首次强调了这个问题，并且提出了改进的 AdamW 优化器。

新的正则

在这一节中，我们将指出常见的深度学习模型中往往存在“权重尺度偏移（Weight Scale Shif）”现象，这个现象可能会导致了 L2 正则的作用没那么明显。进一步地，我们可以构建一个新的正则项，它具有跟 L2 类似的作用，但是与权重尺度偏移现象更加协调，理论上来说会更加有效。

2.1 权重尺度偏移

我们知道深度学习模型的基本结构就是“线性变换+非线性激活函数”，而现在最常用的激活函数之一是 。有意思的是，这两者都满足“正齐次性”，也就是对于 ，我们有 恒成立。

对于其他的激活函数如 SoftPlus、GELU、Swish 等，其实它们都是 的光滑近似，因此可以认为它们是近似满足“正齐次性”。

“正齐次性”使得深度学习模型对于权重尺度偏移具有一定的不变性。具体来说，假设一个L层的模型：

假设每个参数引入偏移 ，那么根据正齐次性可得：

如果 ，那么参数为 就跟参数为 的模型完全等价了。

换句话说，模型对于 的权重尺度偏移具有不变性（WEIght-Scale-Shift-Invariance，WEISSI）。

2.2 与L2正则不协调

刚才我们说只要尺度偏移满足 ，那么两组参数对应的模型就等价了，但问题是它们对应的 L2 正则却不等价：

并且可以证明，如果固定 ，并且保持约束 ，那么 的最小值在：

事实上，这就体现了 L2 正则的低效性。试想一下，假如我们已经训练得到一组参数 ，这组参数泛化性能可能不大好，于是我们希望 L2 正则能帮助优化器找到一组更好参数（牺牲一点 ，降低一点 ）。

但是，上述结果告诉我们，由于权重尺度偏移不变性的存在，模型完全可以找到一组新的参数 ，它跟原来参数的模型完全等价（没有提升泛化性能），但是 L2 正则还更小（L2 正则起作用了）。说白了，就是 L2 正则确实起作用了，但没有提升模型泛化性能，没有达到使用 L2 正则的初衷。

2.3 WEISSI正则

上述问题的根源在于，模型对权重尺度偏移具有不变性，但是 L2 正则对权重尺度偏移没有不变性。如果我们能找到一个新的正则项，它有类似的作用，同时还对权重尺度偏移不变，那么就能解决这个问题了。个人感觉原论文对这部分的讲解并不够清晰，下面的推导以笔者的个人理解为主。

我们考虑如下的一般形式的正则项：

对于 L2 正则来说，，只要 是关于 x 在 上的单调递增函数，那么就能保证优化但目标是缩小。要注意我们希望正则项具有尺度偏移不变性，并不需要 ，而只需要：

因为优化过程只需要用到它的梯度。可能有的读者都能直接看出它的一个解了，其实就是对数函数 。所以新提出来的正则项就是：

除此之外，原论文可能担心上述正则项惩罚力度还不够，还对参数方向加了个 L1 的惩罚，总的形式为：

2.4 实验效果简述

按惯例展示一下原论文的是实验结果，当然既然作者都整理成文了，显然说明是有正面结果的：

对于我们来说，无非就是知道有这么个新的选择，炼丹的时候多一种尝试罢了。毕竟正则项这种东西，没有什么理论能保证它一定能起作用，还是用了才能知道结果，别人说得再漂亮也没用。

文章小结

本文介绍了神经网络模型中的权重尺度偏移不变性的现象，并指出它与 L2 正则的不协调性，继而提出了作用类似但能够解决不协调性的正则项。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/1711.05101

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