Unity 3D数学\图形学基础-游戏开发（向量）

向量运算的几何意义
- 标量与向量的计算
- 向量的模长
- 标准化向量 normalize
- 0向量
- 向量与向量的加减法
- 两点间距离公式（向量间距离）
- 点积，点乘，内积（dot）
- 向量夹角与点积
- 投影与点积
- 向量的叉积 (外积）
- - 二重向量叉乘化简公式
两向量角平分向量

向量运算的几何意义

标量与向量的计算

● ·几何解释：向量乘以标量的效果是以标量的大小缩放向量的长度，负值则方向相反。

向量的模长

向量的长度。结果为一个标量。

标准化向量 normalize

将一个普通的向量进行标准化的到的。
标准化向量只表示了向量的方向，剔除了向量的大小。（比如法线）

计算：

标准化向量 = 向量 / 模长

且有：a // b (平行)，则 a / ||a|| = b / ||b||，a,b !=0

0向量

各个分量都是0的向量，
表示没有方向，大小为0的向量。

向量与向量的加减法

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

两点间距离公式（向量间距离）

若：b - a = c
||b - a|| = || c ||
即：b到a的距离等于c的模长。

点积，点乘，内积（dot）

点乘的结果为一个标量。
(a1, a2) * (b1, b2) = (a1 * b1 + a2 * b2)
满足：交换律 a * b = b * a
不满足： a * b * c != a * c * b ，
类似的： U * V * U != U * U * V = U^2 * V
可发现：两向量dot结果为标量，3向量dot结果为矢量…

向量夹角与点积

点乘的结果描述了两个向量的相似程度（方向接近程度），点乘的夹角越小，两个向量越接近。
a * b = ||a|| * ||b|| * cosX, X为向量夹角

可得向量间夹角为：cosX = (a * b) / (||a|| * ||b||)
即：cosX = norma(a) * norma(b)， norma(a)表示a的标准化向量

应用：
兰伯特光照模型，通过光照的反方向和模型法线方向夹角计算物体表面亮度。得出的值表示模型迎光的夹角

投影与点积

向量V在任意向量n上的投影向量V//：
只要不是0向量就可投影，投影不关心n的大小（是否是单位向量，只关心方向）
可以理解为V在 n这个向量方向的投影。

推导过程：

向量的叉积 (外积）

向量叉乘是分量交叉然后相乘。仅用于在3D空间中的向量。
运算：

几何意义：

叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。垂直方向满足右手定则。
外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积。

a × b = ||a||*||b|| * sinX
方向根据右手定则：
若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

运算规律：
● 满足加法的分配律
a x (b + c) = a x b + a x c
● 不满足交换律，反交换律
a x b = - (b x a)
● 满足雅可比恒等式
a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0

参考：

二重向量叉乘化简公式

3个向量叉乘简化为如下：
(a x b) x c = b * (a * c) - a * (b * c)
a x (b x c) = b * (a * c) - c * (a * b)

证明参考：

两向量角平分向量