题目内容

小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属 O 冶炼成为一种特殊金属 X 。

这个炉子有一个称作转换率的属性 V ，V 是一个正整数，这意味着消耗 V 个普通金属 O
恰好可以冶炼出一个特殊金属 X ，当普通金属 O 的数目不足 V 时，无法继续冶炼。

现在给出了 N 条冶炼记录，每条记录中包含两个整数 A 和 B ，这表示本次投入了 A 个普通金属 O ，最终冶炼出了 B 个特殊金属 X 。

每条记录都是独立的，这意味着上一次没消耗完的普通金属 O 不会累加到下一次的冶炼当中。

根据这 N 条冶炼记录，请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是多少，题目保证评测数据不存在无解的情况。

输入格式

第一行一个整数 N ，表示冶炼记录的数目。接下来输入 N 行，每行两个整数 A、B ，含义如题目所述。

输出格式

输出两个整数，分别表示 V 可能的最小值和最大值，中间用空格分开。

数据范围

对于 30 % 30\% 30% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 1 0 2 1≤N≤10^2 1≤N≤102。
对于 60 % 60\% 60% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 1 0 3 1≤N≤10^3 1≤N≤103。
对于 100 % 100\% 100% 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 1 0 4 ， 1 ≤ B ≤ A ≤ 1 0 9 1≤N≤10^4，1≤B≤A≤10^9 1≤N≤104，1≤B≤A≤109。

输入样例：

输出样例：

20 25

样例解释
当 V = 20 V=20 V=20 时，有： ⌊ 75 20 ⌋ = 3 ， ⌊ 53 20 ⌋ = 2 ， ⌊ 59 20 ⌋ = 2 ⌊\frac{75}{20}⌋=3 ，⌊\frac{53}{20}⌋=2，⌊\frac{59}{20}⌋=2 ⌊2075⌋=3，⌊2053⌋=2，⌊2059⌋=2，可以看到符合所有冶炼记录。

当 V = 25 V=25 V=25 时，有： ⌊ 75 25 ⌋ = 3 ， ⌊ 53 25 ⌋ = 2 ， ⌊ 59 25 ⌋ = 2 ⌊\frac{75}{25}⌋=3，⌊\frac{53}{25}⌋=2，⌊\frac{59}{25}⌋=2 ⌊2575⌋=3，⌊2553⌋=2，⌊2559⌋=2，可以看到符合所有冶炼记录。

且再也找不到比 20 更小或者比 25 更大的符合条件的 V 值了。

二分法

解析

我们可以把 ⌊ A V ⌋ = B ⌊\frac{A}{V}⌋ = B ⌊VA⌋=B看成一个函数，把 V V V当作自变量， B B B当作因变量，容易知道，这是一个反比例函数的形状，但是由于下取整，所以实际上以一个下降的分段函数
满足条件的v一定是在一段区间上，则满足这一条记录的v的最小值即为这段区间的左端点。分析到这里，这道题目的单调性就被发现了，我们这时采用二分查找即可找到min，再取所有记录的min中最大的一个，即为整体的min
对于max，由于它位于区间的右端点，我们也可以重新写一个二分查找去寻找右端点，但代码量增加，可以采取一个转化，仍然使用同一个二分查找的函数。我们寻找满足B + 1的下一个区间的左端点，此时找到的是满足 ⌊ A V ′ ⌋ = B − 1 ⌊\frac{A}{V^\prime}⌋ = B - 1 ⌊V′A⌋=B−1，其中可以发现这样的操作会使得 V ′ = V + 1 V^\prime = V + 1 V′=V+1，因此返回的端点-1即可，最后取所有记录中最小的一个，即为整体的max

代码

要注意二分查找中l和r的初始化取值

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int binary_search(int a, int b)
{int l = 1, r = 2e9 + 1; //由于b存在等于0的情况，也就是说当a = 2e9，b = 0的时候，//v必须能取到比a还大的数字，因此要加一while(l < r){int mid = (l + r) >> 1;if(a / mid <= b) r = mid; //这里和正常的二分查找是相反的，因为查找的数字在分母上else l = mid + 1;}return l;
}int main()
{int n;cin >> n;int v_max = 1e9, v_min = 1; //当A取最大，B取最小的时候可得到最大值1e9，相等的时候取最小值1while(n --){int a, b;scanf("%d %d", &a, &b);v_max = min(v_max, binary_search(a, b - 1) - 1); //这里是转化为下一个区间的左端点-1v_min = max(v_min, binary_search(a, b));}printf("%d %d", v_min, v_max);return 0;
}

公式法

解析

首先我们先列出题目中要求的公式
⌊ A V ⌋ = B ⌊\frac{A}{V}⌋ = B ⌊VA⌋=B
根据下取整的性质，我们有
⌊ A V ⌋ + 1 = B + 1 > A V ≥ ⌊ A V ⌋ = B ⌊\frac{A}{V}⌋ + 1 = B + 1 > \frac{A}{V} \geq ⌊\frac{A}{V}⌋ = B ⌊VA⌋+1=B+1>VA≥⌊VA⌋=B
进行不等式的简单变换得到
A B ≥ V > A B + 1 \frac{A}{B} \geq V > \frac{A}{B + 1} BA≥V>B+1A
到这里结果就非常明显了，我们只需要寻找 ⌊ A B ⌋ ⌊\frac{A}{B}⌋ ⌊BA⌋的最小值作为max，由于V是整数，所以min一定是大于 A B + 1 \frac{A}{B + 1} B+1A的最小整数，当 A B + 1 \frac{A}{B +1} B+1A是整数的时候，直接取 A B + 1 + 1 \frac{A}{B+1} + 1 B+1A+1即可，如果不是整数，则取 ⌊ A B + 1 ⌋ + 1 ⌊\frac{A}{B + 1}⌋ + 1 ⌊B+1A⌋+1，在C++中这两种操作可以合并。

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int n;int main()
{cin >> n;int maxs = 0x3f3f3f3f, mins = 0;for(int i = 0; i < n; i ++){int a, b;scanf("%d %d", &a, &b);maxs = min(maxs, a / b);mins = max(mins, a / (b + 1) + 1); //这里是合并的操作}printf("%d %d", mins, maxs);return 0;
}

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第十四届蓝桥杯C++ B组——冶炼金属

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二分法

解析

代码

公式法

解析

代码

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