齐次坐标，怎么你也叫Homogeneous

其实参考链接中已经解释的很好了，这篇博客主要就是为了码一下别人的博客。链接1、2里面不仅有关于齐次坐标的解释，还有很多其他的计算机图像的知识点，链接2还做了很多《冰与火之歌》的彩蛋。

在平常数学运算中，我们一般使用笛卡尔坐标，但是在计算机图形学中使用的更多的是齐次坐标（Homogeneous Coordinates）。数学里，齐次坐标（homogeneous coordinates），或投影坐标（projective coordinates）是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。该词由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯于1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一书内引入齐次坐标有三大优点。

一，还可以表示无穷远处的点。在欧式空间（Euclidean space）或者笛卡尔空间（Cartesian space）中，平行线是无法相交的，但是真实世界中因为透视关系，平行的铁轨在无穷远处也可以相交。而欧式空间中的坐标 $\left( {\infty \infty } \right)$ 没有意义，所以齐次坐标就出现了。齐次坐标可以用 $n + 1$ 维的坐标表示笛卡尔坐标系中 $n$ 维的坐标。齐次坐标 $\left( {\hat x,\hat y,\omega } \right)$ 对应笛卡尔坐标 $\left( {\frac{{\hat x}}{\omega },\frac{{\hat y}}{\omega }} \right)$ ， $\omega$ 是缩放系数。这样当取 $\omega = 0$ ，就可以表示笛卡尔坐标系中的无穷大，对应无穷点（points at infinity）。一般的，取 $\omega = 1$ ，得到归一化的齐次坐标。 $\tilde x$ 是齐次坐标， ${\rm{\bar x}}$ 被称为增广矢量（augmented vector）。

$\tilde x = \left( {\hat x,\hat y,\omega } \right) = \omega \left( {x,y,1} \right) = \omega {\rm{\bar x}}$

二，齐次坐标可以区分点和向量。计算机图形学(OpenGL版)》的作者F.S. Hill Jr. 写到：齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换[98]。在笛卡尔坐标系中的一个坐标，我们无法判断它表示的是一个点还是一个从原点指向该点的向量。齐次坐标因为有一个冗余的维度（缩放系数），可以作为标志位，当它取1时表示坐标点，当它为0时表示向量。这是因为表达一个点比一个向量需要额外的信息：

三，齐次坐标允许平移、旋转、缩放和透视投影表示为矩阵与向量相乘的运算，而使用笛卡尔坐标，平移和透视投影不能表示成矩阵相乘。仿射变换其实就是线性变换（旋转缩放）与平移的叠加。笛卡尔坐标系不能用乘法表示仿射变换主要是因为平移变换。现在利用齐次就可以将平移变换中的矩阵相加转换为矩阵相乘：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x'}\\ {y'}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{{t_x}}\\ 0&1&{{t_y}}\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + {t_x}}\\ {y + {t_y}}\\ 1 \end{array}} \right]$

至于为什么叫齐次，这是因为齐次坐标与笛卡尔坐标不是一一对应的。只要前n个分量与缩放系数的比例相同就会映射到同一个笛卡尔坐标，即对齐次坐标每一个分量同等进行缩放，都表示的是笛卡尔坐标系中的同一个点，这就是尺度不变性（Scale Invariant），也就是齐次。谷歌翻译Homogeneous是“同质”的意思，百度翻译结果是“均匀的;同性质的。这里写作齐次。而之前学习的单应矩阵中单应英文单词是Homography，指的是点与点一一对应。他们共同使用词根homo，意为“相同的”。

注意：

三元组 (0, 0, 0) 不表示任何点。原点表示为 (0, 0, 1)

Reference：

http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
冰与火之歌https://oncemore.wang/blog/homogeneous/
https://www.cnblogs.com/xin-lover/p/9486341.html

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