01 解决什么问题

在社会活动中经常可见按照时间顺序记录下来的随机事件观察值，例如每年死亡人数序列，每年糖尿病发病人数序列，医院门诊每日诊治病例数序列。这类数据的特性是相邻时间点的观察值之间具有明显的相关性，这一特性不同于独立随机观察资料，因而不能用通常以独立随机观察为假定条件的统计方法分析，而要采用时间序列分析方法分析。

先来看一个时间序列的例子。收集了某市2007年1月1日至2009年12月31日的大气中颗粒物PM的每日测定值。从图可见，该市空气中颗粒物PM10含量的日平均值变化特点是：年初和年末的平均浓度较高，夏秋季的平均浓度较低。

02 时间序列资料的影响因素

一个时间序列资料通常可以分解为确定性部分和随机部分。确定性部分又可进一步分解为趋势部分、循环或周期部分以及季节变动部分。

将上图的时间序列资料分解，形成如下图，可看到：

第一 趋势部分：反应长期的变化趋势，如上升或下降或平稳。下图的看来，虽然有起伏，但总的趋势是平稳的。

第二 循环或周期部分：表现为围绕总体趋势水平出现有节奏的周期变动，如经济发展中出现时快时慢的周期变化。

第三 季节变动，指在一个日历年份内因季节气候变化的影响发生的变动，每年都重复，一般受气候或人们生活方式影响的结果，下图三中表现的每年都呈现一个U型曲线，是一种明显的季节变动。当然，有的时间序列呈现周期波动，如门诊量由于受工作日影响而重复出现星期内波动。

第四 不规则变动，它是除确定性部分之外的随机波动。如下图四。

03 几种时间序列

社会生活中时间序列一般包含上述几个组分，如果只有不规则变动组成，不包含其他三种成分，那么就是上图1序列，称为平稳序列，数据围绕一个值上下波动，由于不规则变化，则无法预测下个时间是往上还是往下。如果包含一个向上的长期趋势，如图2，则为一个趋势序列。如果在平稳时间序列上加一个季节性变化，则如图3所示，称之为季节型序列。季节和趋势组合就是图四的形式，有一个向上的趋势，同时还有周期性变化。一般情况下不规则变化都是存在的。

04 几个重要的概念

1.自相关函数

在时间序列中，其前期状态对后续状态往往有影响，这种影响越大，相关性就越强，这种相关性就叫自相关。它有两个指标：自相关函数和偏自相关函数，它俩的作用是啥呢？自相关函数用acf表示，它可以检验时间序列在时间点t与滞后h期的时间点t-h的观察值之间是否存在显著自相关性。通过acf()函数计算自相关函数图：

该图的横坐标Lag表示滞后期数h，纵坐标ACF给出每一滞后期h的自相关函数值。两条平行的横虚线分别代表95%可信区间的临界水平，凡是超过虚线的竖线条都具有统计学意义，原假设是自相关函数等于0，如果落在两虚线之间，则表示无统计学意义。

从图可以看出，滞后0阶(h=0)恒等于1，这是PM10的自身相关性。将它的每一滞后期的自相关函数值打印出来可看到，前20期竖线都在虚线上面，函数值缓慢降低，各期都有统计学意义和自相关性，属于拖尾状态。

2.偏相关性函数

偏自相关函数又称PACF，它不同于自相关函数，它消除了其他观察值的影响后yt和y(t+h)单纯的相关关系。通过pacf()函数可计算得到：可看到滞后一期的相关函数值为0.72，具有高度统计学意义，之后下降很快，后面偏自相关函数在显著水平波动，处截尾状态。

3.时间序列的平稳性

实际工作中，只要满足①均值E(Yt)=u是与时间无关的常数；②方差是与时间无关的常数，Var(Yt)=γ。③协方差是只与时间间隔k有关，而与时间t无关的常数，Cov(Yt,Yt+k)=γ(0,k)就可以认为是平稳性序列。

4.平稳性检验

由于对时间序列资料分析的一个重要假设条件就是平稳性，因此很有必要先判断是否符合平稳性。

①直接观察ACF图，平稳的序列的自相关图和偏相关图不是拖尾就是截尾。截尾就是在某阶之后系数都为0，看上面偏相关的图，当阶数为1的时候,系数值还是很大是0.72 二阶长的时候突然就变成了 0.050. 后面的值都很小，认为是趋于0，这种状况就是截尾。再就是拖尾，拖尾就是有一个衰减的趋势，但是不都为 0，看上面自相关图.如果自相关图既不是拖尾也不是截尾，这里我们用文章开头的案例，计算滞后400阶的自相关图，如下图。下图的自相关是一个三角对称的形式，这种趋势是单调趋势的典型图形。这个案例是一个具有季节变动的不平稳时间序列。

①常用一个是tseries包中adf.test()函数做单位根检验，p>0.05表示是不能拒绝原假设，不平稳时间序列。检验文章开头的案例，P>0.05，不能拒绝原假设，表明该序列为非平稳时间序列。

5.非平稳性怎么办呢？

对于非平稳序列，如有具有某种趋势，则可以采用差分的方法消除这种趋势，从而达到平稳性。也可以采用对数的方式消除这种趋势，也可以联合数学变换和差分的方法消除，后面会详细介绍差分。

6.几种基本的平稳时间序列模型
1.自回归模型(AR)

通常用AR(p)表示p阶自回归模型，用时间序列的一系列过去值和当前值建立自回归的关系。

2.移动平均模型(MA)

一个q阶的移动平均模型用MA(q)表示当前观察值是当前以及向后过去q阶白噪声的线性组合。

3.自回归移动平均(ARMA)

实际工作中大部分都是AR和MA的组合，这种模型表示为ARMA(p,q),前面介绍的acf和pacf可以帮助我们识别模型及其阶数。

05 总结

本文作为时间序列的第一章，主要介绍时间序列中常用基本概念和术语，以方便对后面的建模深入理解。之后会针对不同的时间序列资料，讨论使用的不同的模型。

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