problem

luogu

现有N(1≤N≤300)N(1 ≤ N ≤ 300)N(1≤N≤300) 个盘子，编号为1,2,3,…,N1,2,3,…,N1,2,3,…,N。

第 iii个盘中放有 ai(1≤ai≤3)a_i(1≤a_i ≤3)ai(1≤ai≤3)个寿司。

接下来每次执行以下操作，直至吃完所有的寿司。

从第 1,2,3,…,N1,2,3,…,N1,2,3,…,N 个盘子中任选一个盘子，吃掉其中的一个寿司。若没有寿司则不吃。

若将所有寿司吃完，请问此时操作次数的数学期望是多少？

solution

最直接地设 f(a1,a2,a3,...,an):f(a_1,a_2,a_3,...,a_n):f(a1,a2,a3,...,an): 第 iii 盘还剩 aia_iai 个寿司的期望次数。

那么枚举随机到的盘子，有方程：f(a1,a2,...,an)=1+∑i=1n1nf(a1,a2,...,max⁡(ai−1,0),...,an)f(a_1,a_2,...,a_n)=1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}f(a_1,a_2,...,\max(a_i-1,0),...,a_n)f(a1,a2,...,an)=1+∑i=1nn1f(a1,a2,...,max(ai−1,0),...,an)。

显然这个等式不能构成转移方程，因为存在原地打转（第 iii 盘寿司为空时，就变成了自身转移到自身，状态不变）的情况。

由于随机均匀分布，盘子的位置是不重要的，事实上我们真正关注的只有盘子中剩余寿司的数量。

而 aia_iai 寿司数量又只有四种取值 0/1/2/30/1/2/30/1/2/3。

不妨重新设 f(o,i,j,k):f(o,i,j,k):f(o,i,j,k): 当前还剩下 o/i/j/ko/i/j/ko/i/j/k 个盘子中有 0/1/2/30/1/2/30/1/2/3 个寿司。

则有转移：
f(o,i,j,k)=1+onf(o,i,j,k)+inf(o+1,i−1,j,k)+jnf(o,i+1,j−1,k)+knf(o,i,j+1,k−1)f(o,i,j,k)=1+\frac{o}{n}f(o,i,j,k)+\frac{i}{n}f(o+1,i-1,j,k)+\frac{j}{n}f(o,i+1,j-1,k)+\frac{k}{n}f(o,i,j+1,k-1) f(o,i,j,k)=1+nof(o,i,j,k)+nif(o+1,i−1,j,k)+njf(o,i+1,j−1,k)+nkf(o,i,j+1,k−1)

n−onf(o,i,j,k)=1+inf(o+1,i−1,j,k)+jnf(o,i+1,j−1,k)+knf(o,i,j+1,k−1)\frac{n-o}{n}f(o,i,j,k)=1+\frac{i}{n}f(o+1,i-1,j,k)+\frac{j}{n}f(o,i+1,j-1,k)+\frac{k}{n}f(o,i,j+1,k-1) nn−of(o,i,j,k)=1+nif(o+1,i−1,j,k)+njf(o,i+1,j−1,k)+nkf(o,i,j+1,k−1)

f(o,i,j,k)=ni+j+k+ii+j+kf(o+1,i−1,j,k)+ji+j+kf(o,i+1,j−1,k)+ki+j+kf(o,i,j+1,k−1)f(o,i,j,k)=\frac{n}{i+j+k}+\frac{i}{i+j+k}f(o+1,i-1,j,k)+\frac{j}{i+j+k}f(o,i+1,j-1,k)+\frac{k}{i+j+k}f(o,i,j+1,k-1) f(o,i,j,k)=i+j+kn+i+j+kif(o+1,i−1,j,k)+i+j+kjf(o,i+1,j−1,k)+i+j+kkf(o,i,j+1,k−1)

这样就不存在状态相同的死循环转移了。

但是现在是 O(n4)O(n^4)O(n4) 的，需要进一步优化。

不难发现，盘子数量是固定不变的，即 o+i+j+k=no+i+j+k=no+i+j+k=n，所以当我们知道了其中任意三个数，就能推出剩下一个数。

设 f(i,j,k):f(i,j,k):f(i,j,k): 当前还剩下 i/j/ki/j/ki/j/k 个盘子中有 1/2/31/2/31/2/3 个寿司。
f(i,j,k)=ni+j+k+ii+j+kf(i−1,j,k)+ji+j+kf(i+1,j−1,k)+ki+j+kf(i,j+1,k−1)f(i,j,k)=\frac{n}{i+j+k}+\frac{i}{i+j+k}f(i-1,j,k)+\frac{j}{i+j+k}f(i+1,j-1,k)+\frac{k}{i+j+k}f(i,j+1,k-1) f(i,j,k)=i+j+kn+i+j+kif(i−1,j,k)+i+j+kjf(i+1,j−1,k)+i+j+kkf(i,j+1,k−1)
最后还要注意循环枚举的细节：

kkk 只用了 k−1k-1k−1，当在 (i,j)(i,j)(i,j) 时会问到 j+1j+1j+1，所以 kkk 要在 jjj 循环的外层。
同理 jjj 会用到同 kkk 下的 j+1j+1j+1，但此时是 i−1i-1i−1，所以 jjj 循环要在 iii 的外层。
综上我们确定唯一的循环顺序是 k,j,ik,j,ik,j,i。

时间复杂度： O(n3)O(n^3)O(n3)。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 305
double f[maxn][maxn][maxn];
int a[5];
int n;
int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1, x;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &x ), a[x] ++;for( int k = 0;k <= n;k ++ )for( int j = 0;j <= n;j ++ )for( int i = 0;i <= n;i ++ )if( i or j or k ) {if( i ) f[i][j][k] += f[i - 1][j][k] * i / (i + j + k);if( j ) f[i][j][k] += f[i + 1][j - 1][k] * j / (i + j + k);if( k ) f[i][j][k] += f[i][j + 1][k - 1] * k / (i + j + k);f[i][j][k] += n * 1.0 / (i + j + k);}  printf( "%.10f\n", f[a[1]][a[2]][a[3]] );return 0;
}

[AtCoder Educational DP Contest] J - Sushi（期望dp）相关推荐

【组合数学 dp[i][j] = a*dp[i, j-1] + b*dp[i-1,j]+c 求 dp[n][n]】Gym - 101480F Frightful Formula
Step1 Problem: 已知 a , b , c a, b, c a,b,c 和 d p [ k ] [ 1 ] , d p [ 1 ] [ k ] dp[k][1], dp[1][k] dp[ ...
狂补dp Atcoder Educational DP Contest(全)
狂补dp Atcoder Educational DP Contest(全) 注意为了减少篇幅,本博客代码部分只放主代码部分,其余省略快读.快输.头文件等代码,即把代码看做伪代码更佳 A - Fro ...
Atcoder Educational DP Contest 题解
A - Frog 1/B - Frog 2 入门... 1 #include<cstdio> 2 #define abs(a) ((a)>=0?(a):(-(a))) 3 #defi ...
[SCOI2008]奖励关（期望dp）
你正在玩你最喜欢的电子游戏,并且刚刚进入一个奖励关.在这个奖励关里,系统将依次随机抛出k次宝物,每次你都可以选择吃或者不吃(必须在抛出下一个宝物之前做出选择,且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃). 宝 ...
AtCoder AGC007E Shik and Travel (二分、DP、启发式合并)
题目链接 https://atcoder.jp/contests/agc007/tasks/agc007_e 题解首先有个很朴素的想法是,二分答案$mid$后使用可行性DP, 设\(dp[u][ ...
[NOIP2016]换教室（概率期望$DP$）
其实吧我老早就把这题切了--因为说实话,这道题确实不难啊--李云龙:比他娘的状压DP简单多了今天我翻以前在Luogu上写的题解时,突然发现放错代码了,然后被一堆人$hack$--蓝瘦啊\(ORZ ...
POJ 2096 Collecting Bugs：期望dp
题目链接:http://poj.org/problem?id=2096 题意: 有一个程序猿,他每天都会发现一个bug. bug共有n个种类.属于某一个种类的概率为1/n. 有s个子系统,每个bug属 ...
插头DP 概率DP / 期望DP
插头DP && 概率DP / 期望DP 写在前面: 插头DP P5056 [模板]插头dp 手写哈希表的方法: 拉链法的代码如下: 开放寻址法的代码如下: 接下来是这道题的代码实现: ...
ACM概率期望dp刷题总结
这个周刷了很多概率期望有关的dp题目,缘起2016青岛D题和取log的神操作题HDU 5988 2016青岛区域赛 (最小费用流) 这类题目没有固定的模板,而且概率可以很容易插入一些经典模型,比如下面 ...

[AtCoder Educational DP Contest] J - Sushi（期望dp）

problem

solution

code

[AtCoder Educational DP Contest] J - Sushi（期望dp）相关推荐

最新文章

热门文章