算法的基本思路是:

对曲线的首末点虚连一条直线,求此曲线其余所有点到直线的距离（垂距）,从中找出最大距离值dmax ,用dmax与限差D相比:若dmax <D,这条曲线上的中间点全部舍去;若dmax ≥D,保留dmax 对应的坐标点,并以该点为界,把曲线分为两部分,对这两部分重复使用该方法，当曲线无法分为两部分时结束。

具体步骤如下：

(1) 在曲线首尾两点间虚连一条直线,求出其余各点到该直线的距离。

(2)选其最大者与极差D相比较,若大于极差D,则离该直线距离最大的点保留,否则将直线两端点间各点全部舍去。

(3)以保留的点为中心,将已知曲线分成两部分处理,重复执行第1、2步操作，迭代操作，即仍选该直线距离最大者与极差D比较,依次取舍,直到无点可舍去，最后得到满足给定精度限差为D的曲线点坐标

具体的实现过程如下图（此图来自于网络）

在计算最大距离的时候（垂距），一般来讲，我们知道三个点的坐标，两个坐标点形成得直线，求另一个坐标点到此直线的距离。

一般来讲，行列式算法，海伦公式，向量法，都可以求出面积；

这里介绍下行列式算法：

已知三个点坐标(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

由此三角形构成的面积是|S|注意是S的绝对值，因为坐标的方向不确定。

下面是S的求值

求出面积后，用面积公式，得到高（垂距），找出所有点中垂距的最大值与极差D比较。

下面简要写出道格拉斯-普克算法的代码，由于是采用传统的迭代方法，存在一定的弊端

qt代码如下：

#include <QPoint>

#include <QVector>

/**

 * @brief CPointRarefyOprt::PerpendicularDistance 计算点到首尾连线间的距离(垂距)

 * @param Point1                                  首坐标

 * @param Point2                                  尾坐标

 * @param Point                                   要计算到直线距离的点

 * @return 

 */

double PerpendicularDistance(const QPoint &Point1, const QPoint &Point2, const QPoint &Point)

{

    //行列式算法的展开

    double area = fabsf(0.5 * (Point1.x * Point2.y + Point2.x * Point.y + Point.x * Point1.y - Point2.x * Point1.y - Point.x * Point2.y - Point1.x * Point.y));

    double bottom = sqrtf(pow(Point1.x - Point2.x, 2) + pow(Point1.y - Point2.y, 2));

    double height = area / bottom * 2;

    return height;

}

/**

 * @brief DouglasPeuckerReduction  道格拉斯——普克算法

 * @param Points                   要进行简化的曲线的点列

 * @param startPoint               进行此算法的曲线开始的点的数组下标

 * @param endPoint                 进行此算法的曲线结束的点的数组下标

 * @param tolerance                极差D(阈值)

 * @param resultPoints             得到的简化的曲线

 */

void DouglasPeuckerReduction(QVector<QPoint> Points,int startPoint

                             ,int endPoint, double tolerance,QVector<QPoint> resultPoints)

{

    double maxDistance = 0; //最远距离(垂距)

    int indexFarthest = -1;  //最远距离点的数组下标

    if(endPoint-startPoint<=1)

    {

        if(endPoint==startPoint)

        {

            //endPoint==startPoint相等时，只有一个点时，所以添加一个点

            resultPoints.append(points[startPoint]);

        }

        else

        {

            //有两个点时，添加两个点

            resultPoints.append(points[startPoint]);

            resultPoints.append(points[endPoint]);   

        }

        //当小于等于两个点时，直接返回

        return;

    }

    for (int index = startPoint; index < endPoint; index++)

    {

        double distance = PerpendicularDistance(points[startPoint],points[endPoint],points[index]);

        if (distance > maxDistance)

        {

            //当新得到的点的垂距大于之前的最大垂距时，更新最大垂距，并且更新最大垂距点的下标

            maxDistance = distance;

            indexFarthest = index;

        }

    }

    if (maxDistance > tolerance && indexFarthest != -1)

    {

        //对起始点到最大垂距点之间的点重复进行道格拉斯——普克算法

        DouglasPeuckerReduction(points, startPoint,indexFarthest-1, tolerance, resultPoints);

        //将最大垂距点保留

        resultPoints.append(points[indexFarthest]);

        //对最大垂距点到结束点之间的点重复进行道格拉斯——普克算法

        DouglasPeuckerReduction(points, indexFarthest+1,endPoint, tolerance, resultPoints);

    }

    return;

}

//第一次写博客，以前一直想写，但总不知道写些什么，或者感觉想写的东西太过于简单，或者感觉想写的东西自己无法合理的表示//写这个东西用了两个多小时，借鉴了一些文档,但其中还是不免有许多错误，求指点，感激不尽//或许很简单，或许很多错误，但是当我鼓足勇气写完之后，忽然发现，原来坚持写比什么都重要