每天一道LeetCode-----计算一个直方图空隙的容量（如果装水能装多少）

Trapping Rain Water

原题链接Trapping Rain Water

给定一序列，表示一个直方图每个柱的高度（图中黑色部分），计算这个直方图可以存储的容量（图中浅蓝色部分）

直观的想法可能是直接求容量，比如说计算高度为2和高度为3的两个柱子之间的容量，但是需要减去二者之间的其他柱子所占的面积，比较麻烦。

从图中可以看出，对于某个柱子，判断它是否被某两个柱子构成的区域包含的方法，是判断这个柱子左右两边是否都存在比它高的柱子。比如说从左边开始的那个高度为2的柱子，它右边有一个高度为3的柱子，但是左边没有比它再高的柱子了，所以，它不在任两个柱子构成的区域中。

那么可以这样理解，判断一个柱子是否在某两个柱子构成的区域中的方法，是判断它的正上方是否有浅蓝色区域。
相反，判断一个柱子正上方是否有浅蓝色方块，只需要判断这个柱子的左边和右边是否有高度大于它的柱子。而计算正上方浅蓝色方块个数的方法，是计算这个柱子左边高度最大的柱子和右边高度最大的柱子中高度较小的那个柱子的高度和这个柱子的高度差。

而如果垂直x轴的方向看每个柱子正上方的浅蓝色方块，可以发现整个容量恰好是由每个柱子正上方的浅蓝色方块组成（包括高度为0的柱子）。

综上，只需要求每个柱子正上方浅蓝色区域块的个数（因为面积是1），而浅蓝色区域块的个数是通过左边最高高度和右边最大高度中较小的那个高度和当前柱子的高度作差得到。

直接求解

class Solution {
public:int trap(vector<int>& height) {int ans = 0;int n = height.size();for(int i = 1; i < n - 1; ++i){int max_left = 0;int max_right = 0;/* 找当前柱子左边的最大高度，算上当前柱子的高度 *//* 即如果左边没有大于当前柱子的高度，那么最大高度就是当前柱子的高度 */for(int j = i; j >= 0; --j)max_left = std::max(max_left, height[j]);/* 找右边的最大高度，同理 */for(int j = i; j < n; ++j)max_right = std::max(max_right, height[j]);/* 两个高度中较小的高度和当前柱子的高度差 *//* 如果max_left == height[i]，那么差为0，上方没有浅蓝色块 */ans += std::min(max_left, max_right) - height[i];}return ans;}
};

动态规划
上面的方式重复计算了很多max_left和max_right，可以用动态规划的思想减少重复计算

class Solution {
public:int trap(vector<int>& height) {if(height.empty())return 0;int n = height.size();/* 对于某个位置i，计算i左边的最大高度 */vector<int> left_dp(n, 0);left_dp[0] = height[0];for(int i = 1; i < n; ++i)left_dp[i] = std::max(left_dp[i - 1], height[i]);/* 对于某个位置i，计算i右边的最大高度 */vector<int> right_dp(n, 0);right_dp[n - 1] = height[n - 1];for(int i = n - 2; i >= 0; --i)right_dp[i] = std::max(right_dp[i + 1], height[i]);int ans = 0;for(int i = 1; i < n - 1; ++i)ans += std::min(left_dp[i], right_dp[i]) - height[i];return ans;}
};

使用两个指针
动态规划的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也是O(n)。如果要将空间复杂度降到O(1)，就需要实时更新max_left和max_right。
可以通过从两边同时向中间逼近的方法，但需要保证

从左边开始遍历到某个柱子时，右边一定有某个柱子的高度大于max_left。此时二者的较小值为max_left
从右边开始遍历到某个柱子时，左边一定有某个柱子的高度大于max_right。此时二者的较小值为max_right

要保证右边一定有某个柱子高度大于max_left，只需要保证将max_left更改为height[left]时，height[left] < height[right]
要保证左边一定有某个柱子高度大于max_right，只需要保证将max_right更改为height[right]时，height[right] < height[left]

所以，可以尝试着根据height[left]和height[right]大小关系来判断当前是应该从左向右逼近还是从右向左逼近，即

class Solution {
public:int trap(vector<int>& height) {int n = height.size();int ans = 0;int left = 0;int right = n - 1;int max_left = 0;int max_right = 0;while(left <= right){if(height[left] < height[right]){/* 在left右边一定有某个柱子的高度大于max_left，所以较小的就是max_left* 如果当前柱子的高度大于max_left，说明左边没有比它高的柱子，浅蓝色区域块个数为0，此时更新max_left */(max_left < height[left]) ? (max_left = height[left]) : ans += (max_left - height[left]);++left;}else{/* 同理 */(max_right < height[right]) ? (max_right = height[right]) : ans += (max_right - height[right]);--right;}}return ans;}
};

这题主要是弄清楚如何使用简便的方法求出容量，即通过正上方的浅蓝色区域块的个数求解。同时，也需要明白如何求解浅蓝色区域块的个数，即找到左右两边最大的高度中较小的那个和当前柱子高度作差。

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