最优化——线性规划总结2(单纯形法问题总结，检验数为0和退化)
求进基之后的基本可行解
- 在选择保留进基变量所在行的过程中不用考虑进基变量的系数不是正数的行
假定已知基本可行解 X^\hat{X}X^ 的表示式为
XB+P^j(m+1)xj(m+1)+⋯+P^j(n)xj(n)=X^BX_{B}+\hat{P}_{j(m+1)} x_{j(m+1)}+\cdots+\hat{P}_{j(n)} x_{j(n)}=\hat{X}_{B} XB+P^j(m+1)xj(m+1)+⋯+P^j(n)xj(n)=X^B
任取 m+1≤t≤n,m+1 \leq t \leq n \quad,m+1≤t≤n, 则有以下结论 :
- 如果 P^j(t)≤0,\hat{P}_{j(t)} \leq 0,P^j(t)≤0, 变量 xj(t)x_{j(t)}xj(t) 在可行集可趋于无穷大
- 只要 P^j(t)\hat{P}_{j(t)}P^j(t) 有一个分量大于 0,0,0, 就可以通过行变换让 xj(t)x_{j(t)}xj(t) 进基，形成一个新的基本可行解
即：要进基的变量的系数向量如果全都小于等于0，那么这个这个变量在可行集中会趋于无穷大，我们无法使得它进基，因为进基的变量都是限制在有限的常数内。而且如果只有这一个变量进基能够优化目标函数，那么可以判定这个问题没有有限的最优目标值，例如趋于无穷大。
对于求max的线性规划问题，如果所有检验数均满足≤0，则说明已经得到最优解， 若此时某非基变
量的检验数 ，则说明该优化问题有无穷多最优解。退化是多个基阵对应一个基本可行解；所有检验数≤0，非基变量检验数为0表示这个最优目标值对应多个基本可行解。
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