Extreme Extension 思维，dp

题意：

给一数组a，可对其中aia_iai进行如下操作：将aia_iai拆成两数之和，然后代替aia_iai加入数组中。设一个数组的 extremeextremeextreme valuevaluevalue 指的是：使得数组单调不下降的最小操作次数。据此，求a数组的所有子数组的 extremeextremeextreme valuevaluevalue 之和

思路：

先考虑一个数组，显然，将末尾元素拆分是没有意义的，且会使答案增大。而对于中间元素，例如 ...[17],5,10,23,...... [17], 5, 10, 23, ......[17],5,10,23,... ，如果它违反了单调不下降的规则，就必须进行拆分，可以有多种拆法，但使得其中最小元素尽可能大，是最优的拆法。例如，拆成(4,4,4,5)(4, 4, 4, 5)(4,4,4,5)比(3,3,3,3,5)(3, 3, 3, 3, 5)(3,3,3,3,5)更好，因为这可能减少前面需要的操作数量，因此，相当于让拆分成的元素尽可能接近，且数量尽可能少，又要让其中最大的小于ai+1a_{i+1}ai+1，那么，对于当前的数aia_iai和下一个数ai+1<aia_{i+1}<a_iai+1<ai，我们应当拆分，例如这里17应当分为⌈17/5⌉=4\lceil 17/5 \rceil = 4⌈17/5⌉=4个数，所以最小数是⌊17/4⌋=4\lfloor 17/4 \rfloor = 4⌊17/4⌋=4。显然，如果aia_iai比ai+1a_{i+1}ai+1小，则认为我们将它“拆分成一个数”
这样扫一遍下来，以O(n)O(n)O(n)解决了求解单个数组的问题，但是，子数组的数量是n2n^2n2数量级，不能全部这样求解
考虑dpi,xdp_{i,x}dpi,x是第iii个数被拆分成最小元素为xxx的若干个数，并且以xxx开头的非递减数列的数量。有dpi−1,ydp_{i-1,y}dpi−1,y += dpi,xdp_{i,x}dpi,x，因此可以转化。
一个数nnn拆分为最小元素xxx ∈\in∈ {nnn,⌊n/2⌋\lfloor {n/2} \rfloor⌊n/2⌋,⌊n/3⌋\lfloor {n/3} \rfloor⌊n/3⌋,…,111}，这个集合中元素个数不是n个，而是O(n1/2)O(n^{1/2})O(n1/2)数量级的，这一点在整除分块的技巧中也有使用。
最终我们根据dpdpdp数组统计答案。对于dpi+1,xdp{i+1,x}dpi+1,x，它对答案的贡献是i∗dpi+1,x∗(⌈ai/ai+1⌉−1)i * dp_{i+1,x} * (\lceil a_i / a_{i+1} \rceil - 1)i∗dpi+1,x∗(⌈ai/ai+1⌉−1)，这是因为有i∗dpi+1,xi * dp_{i+1,x}i∗dpi+1,x个数列，每个数列对aia_iai执行这样的拆分

#include <iostream>
#include <unordered_map>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5 + 10;
const ll mod = 998244353;int a[N];int main()
{ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);int _;cin >> _;while (_ -- ){int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];unordered_map<int, int> dp[2];ll ans = 0;for (int i = n; i >= 1; i -- ){dp[1][a[i]] = 1;for (auto it : dp[0]){int t = ceil(a[i] * 1.0 / it.first);dp[1][a[i] / t] += it.second;ans += ((ll)i * it.second) * (t - 1);}ans %= mod;swap(dp[0], dp[1]);dp[1].clear();}cout << ans << endl;}return 0;
}

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