二项分布均值，方差推导

二项分布的概率质量函数为：

p(k)=(nk)pk(1−p)n−k,for 0≤k≤n

\begin{align}p(k)= \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} , & \;\;\;\;\; \text{for $0 \leq k \leq n$}\end{align}

期望推导：

E(k)=∑k=0nkp(k)=∑k=0nk(nk)pk(1−p)n−k=∑k=1nk(nk)pk(1−p)n−k=∑k=1nkn!k!(n−k)!pk(1−p)n−k=∑k=1nkn!k!(n−k)!pkqn−k=np∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1q(n-1)-(k-1)=(n−k)=np∑k=1n(n−1k−1)pk−1q(n−1)−(k−1)共(n−1)次试验，随机变量从0到n−1的二项分布的概率之和必为1=np第0项的值为0组合式展开令q=1-p

\begin{align} E(k) & = \sum_{k=0}^nkp(k) \\[1ex] &= \sum_{k=0}^n k \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \\[1ex] &= \sum_{k=1}^n k \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} &\text{第0项的值为0}\\[1ex] &= \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} &\text{组合式展开} \\[1ex] &= \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} &\text{令q=1-p} \\[1ex] &= np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{\fbox{(n-1)-(k-1)}=(n-k)} \\[1ex] &= np\underbrace{\sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \\ \end{pmatrix}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}}_{共(n-1)次试验，随机变量从0到n-1的二项分布的概率之和必为1} \\[1ex] &=np \end{align}

方差推导：

E(k2)=∑k=0nk2p(k)=∑k=1nk2(nk)pkqn−k=∑k=1n[k(k-1)+k](nk)pkqn−k=∑k=1nk(k−1)(nk)pkqn−k+∑k=1nk(nk)pkqn−k=E(k)=np=∑k=1nk(k−1)n!k!(n−k)!pkqn−k+np=n(n−1)p2∑k=1n(n−2)!(k−2)!(n−k)!pk−2q(n−2)−(k−2)+np=n(n−1)p2∑k=1n(n−2k−2)pk−2q(n−2)−(k−2)+np=n(n−1)p2+np

\begin{align} E(k^2)&=\sum_{k=0}^nk^2p(k) \\[1ex] &= \sum_{k=1}^nk^2 \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}p^kq^{n-k} \\[1ex] &=\sum_{k=1}^n\fbox{[k(k-1)+k]} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}p^kq^{n-k} \\[1ex] &=\sum_{k=1}^nk(k-1) \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}p^kq^{n-k}+\underbrace{\sum_{k=1}^nk \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}p^kq^{n-k}}_{=E(k)=np} \\[1ex] &=\sum_{k=1}^nk(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}+np\\[1ex] &=n(n-1)p^2\sum_{k=1}^n\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{(n-2)-(k-2)}+np\\[1ex] &= n(n-1)p^2\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix} n-2 \\ k-2 \\ \end{pmatrix} p^{k-2}q^{(n-2)-(k-2)}+np \\[1ex] &= n(n-1)p^2+np \end{align}

Var(k)=E(k2)−E(k)2=n(n−1)p2+np−n2p2=npq

\begin{align} Var(k)&=E(k^2)-E(k)^2 \\[1ex] &=n(n-1)p^2+np-n^2p^2 \\[1ex] &=npq \end{align}
注：方框内的内容为计算技巧

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