基本概念

1.完备匹配

设G=<V1,V2,E>为二分图，|V1|<=|V2|,M为G中的一个最大匹配，且|M|=V1,则称M为V1到V2的完备匹配。

通俗的理解，就是把V1中所有的点都匹配完

2.可行顶标

对于左边的点设为LX[maxn]数组，右边的点设为LY[maxn]数组，w[i][j]表示 v[i] 到 v[j] 的权值

3.相等子图

相等子图为完备匹配中所有的匹配，即全部V1中的点和与V1中的点匹配的V2中的点，但是边只包含 LX[i]+LY[j]=W[i][j]的边

4.最优完备匹配

最优完备匹配就是在完备匹配的条件下求解权值最大或者最小，若由二分图中所有满足A[i]+B[i]=W[i][j]的边C（i，j）构成的相等子图有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配

因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和，所以相等子图的完备匹配，一定是二分图的最大权匹配。

5.交错树

对V1中的一个顶点进行匹配的时候，所标记过的V1，V2中的点以及连线，形成一个树状的图

KM算法原理

1.基本原理

该算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题。
设顶点V1的顶标lx[i]，V2顶点的顶标为LY[j],顶点V1的i与V2的j之间的边权为V(i,j)。在算法执行的过程中，对于任一条边C(i,j)，LX[i]+LY[i]>=V[i,j]始终成立

2.基本流程

（1）初始化时为了使 LX[i] + LY[j] >= V [i,j]恒成立，将V1的点的标号记为与其相连的最大边权值，V2的点标号记为0
（2）用匈牙利算法在相等子图寻找完备匹配
（3）若未找到完备匹配，则修改可行顶标的值，扩充相等子图
（4）重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配为止

3.这里值得注意的是找完备匹配不难理解，主要是进行可行顶标的修改扩充相等子图

引用：

朴素的实现方法：时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。

实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

引用：

如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个V1顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是V1顶点。现在我们把交错树中V1顶点的顶标全都减小某个值d，V2顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

1）两端都在交错树中的边(i,j)，lx[ i ]+ly[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

2）两端都不在交错树中的边(i,j)，lx[ i ]和ly[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

3）V1端不在交错树中，V2端在交错树中的边(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

4）V1端在交错树中，V2端不在交错树中的边(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

//HDU2255
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 310
#define INF 0x3f3f3f3f
#define clr(x)  memset(x,0,sizeof(x))
int w[maxn][maxn];//w[i][j]表示i到j的权值
int lx[maxn],ly[maxn];//同时调节两个数组，使得权值和最大
int n;
//n1,n2为二分图的顶点集，其中x属于n1,y属于n2
//link记录n2中的点y在n1中所匹配的x点的编号
int link[maxn];
int slack[maxn];//松弛操作
int visx[maxn],visy[maxn];
bool dfs(int x)
{visx[x]=1;//得到发生矛盾的居民集合//对于这个居民，每个房子都试一下，找到就退出for(int y=1;y<=n;y++){if(visy[y]) continue;//不需要重复访问int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];//这个条件下使用匈牙利算法if(t==0)//标志这个房子可以给这个居民{visy[y]=1;
//这个房子没人住或者可以让住着个房子的人去找另外的房子住if(link[y]==0||dfs(link[y])){link[y]=x;return 1;//可以让这位居民住进来}}else if(slack[y]>t)//否则这个房子不能给这位居民slack[y]=t;}return 0;
}
int KM()
{clr(lx);clr(ly);clr(link);//首先把每个居民出的钱最多的那个房子给他for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(lx[i]<w[i][j])lx[i]=w[i][j];//在满足上述条件之后，给第i位居民分配房子for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)slack[j]=INF;//松弛量while(1)//直到给这个居民找到房子为止{clr(visx);clr(visy);if(dfs(i))  break;//找到房子，就跳出循环int d=INF;for(int k=1;k<=n;k++)if(!visy[k]&&d>slack[k])d=slack[k];//找到最小松弛量for(int k=1;k<=n;k++)//松弛操作，使发生矛盾的居民有更多选择{if(visx[k]) lx[k]-=d;//将矛盾居民的要求降低，使发生矛盾的居民有更多if(visy[k]) ly[k]+=d;//使发生矛盾的房子在下一个子图，保持矛盾}}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=w[link[i]][i];return ans;
}
int main()
{while(~scanf("%d",&n)){clr(w);//每个案例都重置为0for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&w[i][j]);//输入每条边的权值printf("%d\n",KM());}return 0;
}

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