题目

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包,每种物品都有无限件可用。放入第 i 种物品的费用是 C i ,价值是 W i 。求解:将哪些物品装入背包,可使这些物品的耗费的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

第一种思路，基于投资问题模型

从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件…直至取 ⌊V /C i ⌋ 件等许多种。

状态方程为：

F [i, v] = max {F [i − 1, v − kC i ] + kW i | 0 ≤ kC i ≤ v}

基于以上状态方式实现的三种方式，递归，自上而下，自下而上如下：

# another way: F [i, v] = max {F [i − 1, v − kC i ] + kW i | 0 ≤ kC i ≤ v}
def pack_complete_Rec2(N,V,C,W):if N ==0:return 0    k = V // C[N-1]result = -1for i in range(k+1):A = pack_complete_Rec2(N-1,V-i*C[N-1],C,W) + i*W[N-1]if A > result:result = Areturn result
import numpy as np
# 注意if list[N,V] == -1 的未知，因为它确定了剪枝；
def pack_complete_Top_down2(N,V,C,W):list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)list[1:,:] = -1def complete_Top_down(N,V):t = V // C[N-1] if list[N,V] == -1 :result = -1000for k in range(t+1):if N >=1:A = complete_Top_down(N-1,V-k*C[N-1]) + k*W[N-1]if A >= result:result = Alist[N,V] = result return list[N,V]return complete_Top_down(N,V)
def pack_complete_Bottom_up2(N,V,C,W):list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)
#    list[1:,:] = -1for i in range(1,N+1):for j in range(0,V+1):t = j // C[i-1]result = -1000for k in range(t+1):A = list[i-1,j-k*C[i-1]] + k*W[i-1]if A > result:result = Alist[i,j] = result         return list[N,V]

把问题转换成01背包问题，这里面涉及到等效或者泛化物品

将一种物品拆成多件只能选 0 件或 1 件的01背包中的物品,以下是简单实现，基于二进制的实现，在多重背包中实现：

# change complete to 01
def change_complete_to_01(N,V,C,W):C_ =[]W_ =[]for i in range(N):t = V // C[i]for k in range(1,t+1):C_.append(C[i])W_.append(W[i])def pack_0_1_first(N,V,C,W):    F =[0]*(V+1)    for i in range(1,N+1):for v in range(V,C[i-1]-1,-1):F[v] = max(F[v],F[v-C[i-1]] + W[i-1])return F[V]N_ = len(C_)return pack_0_1_first(N_,V,C_,W_)

更为简单的实现，把第i种物品看成一个整体，针对第i种物品就有2种策略，1不选：可以看成i-1的问题，二选，就可以看成第i类的01背包问题，因为V是一定的，此时的i实际上不是无限的，是受V限制的，就可以把有限的i看成不同的物品，等价于一个01背包问题，状态方程如下：

F [i, v] = max (F [i − 1, v], F [i, v − C i ] + W i )

基于以上状态方式实现的三种方式，递归，自上而下，自下而上如下：

def pack_complete_Rec(N,V,C,W):if N ==0:return 0if V < C[N-1]:return pack_complete_Rec(N-1,V,C,W)return max(pack_complete_Rec(N-1,V,C,W),pack_complete_Rec(N,V-C[N-1],C,W) + W[N-1])  import numpy as np
def pack_complete_Top_down(N,V,C,W):list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)list[1:,:] = -1def complete_Top_down(N,V):if list[N,V] == -1 and N >=1:A = complete_Top_down(N-1,V)if V < C[N-1]: return Aelse:list[N,V] = max(A,complete_Top_down(N,V-C[N-1])+W[N-1])return list[N,V]return complete_Top_down(N,V)def pack_complete_Bottom_up(N,V,C,W):list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)list[1:,:] = -1for i in range(1,N+1):for j in range(0,V+1):A = list[i-1,j]  if j < C[i-1]: list[i,j] = A  else:list[i,j] = max(A,list[i,j-C[i-1]]+W[i-1])return list[N,V]

基于一维数组的简单的实现如下，对比上述的Bottom_up方法，使用一维数组实现，通过初始化，能够有效避免，左边的走法：

def pack_complete_first(N,V,C,W):def CompletePack(F,ci,wi):for v in range(ci,V+1):F[v] = max(F[v],F[v-ci] + wi)return FF =[0]*(V+1)for i in range(1,N+1):CompletePack(F,C[i-1],W[i-1])return F[V]

完全背包可行性问题，只取决于初始化，只有F[0,0]才为0时，才可以得到有效解。

def pack_complete_first_yes_or_no(N,V,C):def CompletePack_or(F,ci,wi):for v in range(ci,V+1):F[v] = F[v] or F[v-ci]return FF =[False]*(V+1)F[0] = Truefor i in range(1,N+1):CompletePack_or(F,C[i-1],W[i-1])return F[V]def pack_complete_Bottom_up_yes_or_no(N,V,C):list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=bool)list[0,0] = Truefor i in range(1,N+1):for j in range(0,V+1):A = list[i-1,j]  if j < C[i-1]: list[i,j] = A  else:list[i,j] = A or list[i,j-C[i-1]]return list[N,V]

运行结果：

#%%
N = 7
V = 77
C = [1,2,3,9,13,6,7,5]
W = [1,2,9,7,5,11,6,14]
#%%
print pack_complete_first(N,V,C,W)
print pack_complete_Rec(N,V,C,W)
print pack_complete_Top_down(N,V,C,W)
print pack_complete_Bottom_up(N,V,C,W)
print pack_complete_first_yes_or_no(N,V,C)
print pack_complete_Bottom_up_yes_or_no(N,V,C)
print pack_complete_Rec2(N,V,C,W)
print pack_complete_Top_down2(N,V,C,W)
print pack_complete_Bottom_up2(N,V,C,W)
print change_complete_to_01(N,V,C,W)227
227
227
227
True
True
227
227
227
227

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基于一维数组的简单的实现如下，对比上述的Bottom_up方法，使用一维数组实现，通过初始化，能够有效避免，左边的走法：

完全背包可行性问题，只取决于初始化，只有F[0,0]才为0时，才可以得到有效解。

运行结果：

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