平面方程、夹角与点到平面的距离

平面的点法式方程

法向量：垂直于一个平面的非零向量叫做一个平面的法向量。
假设空间内有一点M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)和一个向量n→=(A,B,C)n→=(A,B,C)\overrightarrow n = (A, B, C)，则经过点M0M0M_0且垂直于向量n→n→\overrightarrow n的平面有且只有一个，记为ΠΠ\Pi，它的法向量即是n→n→\overrightarrow n。

设在平面ΠΠ\Pi上有除了M0M0M_0外的一点M(x,y,z)M(x,y,z)M(x, y, z)，则必有M0M−→−−⊥n→M0M→⊥n→\overrightarrow {M_0M} \bot \overrightarrow n，即它们的数量积为零

n→⋅M0M−→−−=0n→·M0M→=0

\overrightarrow n ·\overrightarrow {M_0M} = 0

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

这就是平面ΠΠ\Pi的点法式方程，平面内任意一点M(x,y,z)M(x,y,z)M(x, y, z)的坐标x、y、zx、y、zx、y、z均满足此方程。

平面的一般方程

易看出平面的点法式方程是一个三元一次方程，所以它也可以写成三元一次方程的一般形式：

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

Ax + By + Cz + D = 0

其中平面的法向量坐标即为x、y、zx、y、zx、y、z的系数

n→=(A,B,C)n→=(A,B,C)

\overrightarrow n = (A, B, C)

对于平面的一般方程，可以从它的方程式中找到方程对应的图像的特点：

D=0D=0D = 0是表示平面经过原点。
A=0A=0A = 0时表示平面平行于xxx轴；B=0" role="presentation" style="position: relative;">B=0B=0B = 0时表示平面平行于yyy轴；C=0" role="presentation" style="position: relative;">C=0C=0C = 0时表示平面平行于zzz轴。(简记为：缺哪个未知数则经过哪个轴)
A=0" role="presentation" style="position: relative;">A=0A=0A = 0且D=0D=0D = 0时表示平面经过xxx轴；B=0" role="presentation" style="position: relative;">B=0B=0B = 0时表示平面经过yyy轴；C=0" role="presentation" style="position: relative;">C=0C=0C = 0时表示平面经过zzz轴。
A=B=0" role="presentation" style="position: relative;">A=B=0A=B=0A = B = 0时则平面同时经过xxx轴和y" role="presentation" style="position: relative;">yyy轴，即表示平面在xOyxOyxOy面上；A=C=0A=C=0A = C = 0时则平面同时经过xxx轴和z" role="presentation" style="position: relative;">zzz轴，即表示平面在xOzxOzxOz面上；B=C=0B=C=0B = C = 0时则平面同时经过yyy轴和z" role="presentation" style="position: relative;">zzz轴，即表示平面在yOzyOzyOz面上

平面的截距式方程

平面的截距式方程一般用于平面与x、y、zx、y、zx、y、z轴各有一个交点时，它的形式为：

xa+yb+zc=1xa+yb+zc=1

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

截距式方程的推导：
一平面与x、y、zx、y、zx、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)P(a, 0, 0)，Q(0, b, 0)，R(0, 0, c)三点

设该平面的方程为：

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

Ax + By + Cz + D= 0

分别将P、Q、RP、Q、RP、Q、R三点代入方程可得，即有：

⎧⎩⎨aA+D=0bB+D=0cC+D=0{aA+D=0bB+D=0cC+D=0

\begin{cases} aA + D = 0\\ bB + D = 0\\ cC + D = 0\\ \end{cases}

解得：

A=−Da，B=−Db，C=−DcA=−Da，B=−Db，C=−Dc

A = -\frac{D}{a}，B = -\frac{D}{b}，C = -\frac{D}{c}

代入方程即可得截距式方程：

xa+yb+zc=1xa+yb+zc=1

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

两平面的夹角

两平面的夹角通常指的是两平面的法向量的夹角(锐角或者直角)

设两平面Π1、Π2Π1、Π2\Pi_1、\Pi_2的法向量分别为n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)n_1 = (A_1, B_1, C_1)、n_2 = (A_2, B_2, C_2)，则：

cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21−−−−−−−−−−−√A22+B22+C22−−−−−−−−−−−√cos⁡θ=|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12A22+B22+C22

\cos \theta= \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

θ=arccos|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21−−−−−−−−−−−√A22+B22+C22−−−−−−−−−−−√θ=arccos⁡|A1A2+B1B2+C1C2|A12+B12+C12A22+B22+C22

\theta = \arccos \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}

从两个法向量垂直、平行的充要条件可以推得：

Π1⊥Π2(θ=π2)Π1⊥Π2(θ=π2)\Pi_1 \bot \Pi_2(\theta = \frac{\pi}{2})相当于A1A2+B1B2+C1C2=0A1A2+B1B2+C1C2=0A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0
Π1//Π2(θ=π或0)Π1//Π2(θ=π或0)\Pi_1 // \Pi_2(\theta = \pi 或 0)相当于A1A2=B1B2=C1C2A1A2=B1B2=C1C2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}

点到平面的距离

平面外一点P0(x0,y0,z0)P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)到平面Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz=0Ax + By + Cz = 0的距离公式：

d=|Ax0+By0+Cz0|A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√d=|Ax0+By0+Cz0|A2+B2+C2

d = \frac{|Ax_0 +By_0 +Cz_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}