最短路径spfa算法

1. 问题描述：

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。数据保证不存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x，y，z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 impossible。

数据范围
1 ≤ n，m ≤ 1e5，
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4

输出样例：
2

来源：https://www.acwing.com/problem/content/853/

2. 思路分析：分析题目可以知道这道题目属于单源最短路径问题，单源最短路径可以使用Dijkstra，spfa算法进行求解，下面使用的是spfa求解单源最短路径。由题目可以知道我们可以直接使用spfa单源最短路径模板求解。其实spfa模板主要有以下几个步骤，下面以python语言作为例子进行解决的具体思路与实现：
首先是需要构建输入的图，因为使用的是python语言所以使用字典来构建图（相当于邻接表），字典的键表示边的起点，值为列表类型，这样可以将起点对应的终边以及权重作为元组加入到列表中，通过字典的键对应的值就可以找到对应的终点以及权重。声明一个列表used来标记队列中已经更新过的顶点，一个用来记录从源点到各个顶点距离的列表dis。

① spfa算法需要借助于一个队列实现，因为使用的是python语言所以可以使用list列表来模拟队列或者是使用collections.deque()声明一个双端队列，一开始的时候将起点加入到队列中。

② 当队列不为空的时候执行循环，弹出队首节点，并且需要将弹出的节点对应的used位置置为0，这样该节点如果发生更新可以再次入队，这一点很关键之前没有将弹出节点的对应位置标记为0导致了错误。

③ 遍历当前的起始顶点对应的各个终点，判断是否可以通过当前的顶点使得到达终点的距离更短，如果距离更点那么更新dis列表对应位置的值，并且如果当前的终点未被更新那么将其加入到队列中。

整个过程其实与dijkstra算法很像，只是spfa算法只对更新过的节点对应的顶点进行访问。

3. 代码如下：

import collections
import sys
if __name__ == '__main__':# 使用字典来存储图之间的关系# s为起点s = 1graph = collections.defaultdict(list)# n个顶点m条边n, m = map(int, input().split())for i in range(m):# a->b权重为ca, b, c = map(int, input().split())graph[a].append((b, c))queue = collections.deque()queue.append(s)# dis记录从源点到各个顶点的距离dis = [sys.maxsize] * (n + 1)dis[s] = 0# 记录顶点在队列中是否已经更新used = [0] * (n + 1)used[s] = 1# 队列不为空的时候执行循环while queue:cur = queue.popleft()# 从队列中取出来之后该节点cur被标记为0, 代表之后该节点如果发生更新可再次入队used[cur] = 0# 遍历当前顶点的各个终点for next in graph[cur]:# 判断是否可以通过当前顶点使得到达终点的路径更短if dis[cur] + next[1] < dis[next[0]]:dis[next[0]] = dis[cur] + next[1]if used[next[0]] == 0:used[next[0]] = 1# 将当前的节点加入到队列中queue.append(next[0])print(dis[n] if dis[n] != sys.maxsize else "impossible")

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