正态分布推导瑞利分布，瑞利信道的模型

从高斯分布推导瑞利分布

瑞利分布是无线通信中常见的信道模型，这里就来推导一下，所谓瑞利分布就是两个垂直分量服从独立且相同的标准高斯分布叠加之后的模。先来看看高斯分布的表达式
f(x)=12πσexp⁡(−(x−μ)22σ2)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)f(x)=2πσ1exp(−2σ2(x−μ)2)
其中σ\sigmaσ是分布的方差，μ\muμ是分布的均值。
假设X1,X2∼N(0,σ2)X_1,X_2\sim N(0,{\sigma}^2)X1,X2∼N(0,σ2),X2=X12+X22X^2 = {X_1}^2+{X_2}^2X2=X12+X22,现在需要推导XXX的概率密度函数。x1x_1x1和x2x_2x2的联合概率密度如下：
f(x1,x2)=12πσ2exp⁡(−x12+x222σ2).\begin{aligned} f(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma}^2}\right). \end{aligned} f(x1,x2)=2πσ21exp(−2σ2x12+x22).
F(X)=P(X≤x)=P(X12+X22≤x)=∬x12+x22≤x12πσ2exp⁡(−x12+x222σ2)dx1dx2=12πσ2∫02πdθ∫0xrexp⁡(−r22σ2)dr=1−exp⁡(−x22σ2)\begin{aligned} F(X)=P(X\leq x)&= P(\sqrt{{X_1}^2+{X_2}^2}\leq x)\\ &=\iint\limits_ {{x_1}^2+{x_2}^2{\leq}x}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2{\sigma}^2}\right)dx_1dx_2\\ &=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{x}r\exp\left(-\frac{r^2}{2{\sigma}^2}\right)dr\\ &=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2{\sigma}^2}\right) \end{aligned}F(X)=P(X≤x)=P(X12+X22≤x)=x12+x22≤x∬2πσ21exp(−2σ2x12+x22)dx1dx2=2πσ21∫02πdθ∫0xrexp(−2σ2r2)dr=1−exp(−2σ2x2)
此时f(x)=F′(x)=xσ2exp⁡(−x22σ2)f(x)=F'(x)=\frac{x}{{\sigma}^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2{\sigma}^2}\right)f(x)=F′(x)=σ2xexp(−2σ2x2),注意上述积分的定义域是x≥0x\geq0x≥0

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