习题四

1.

（1）

分布列

X	2	3	4	9
P(X)	18\frac{1}{8}81	58\frac{5}{8}85	18\frac{1}{8}81	18\frac{1}{8}81

期望

E(X)=174E(X)=\frac{17}{4}E(X)=417

（2）

分布列

Y	2	3	4	9
P(Y)	115\frac{1}{15}151	12\frac{1}{2}21	215\frac{2}{15}152	930\frac{9}{30}309

E(Y)=7315E(Y)=\frac{73}{15}E(Y)=1573

（3）

分布列

X	1	2	3	4	5	7	8	9	10	11	12
P(X)	16\frac{1}{6}61	16\frac{1}{6}61	16\frac{1}{6}61	16\frac{1}{6}61	16\frac{1}{6}61	136\frac{1}{36}361	136\frac{1}{36}361	136\frac{1}{36}361	136\frac{1}{36}361	136\frac{1}{36}361	136\frac{1}{36}361

E(X)=4912E(X)=\frac{49}{12}E(X)=1249

11.

f(x)={14e−x4,x>0;0,x≤0;F(x)={1−14e−x4,x>0;0,x≤0;F(x≤1)=1−e−14F(x>1)=1−F(x≤1)=e−14f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1}{4}e^{-\frac{x}{4}},\quad x>0;\\ 0,\quad\quad x\leq0; \end{aligned}\right. \\ F(x)=\left\{\begin{aligned} 1-\frac{1}{4}e^{-\frac{x}{4}},\quad x>0;\\ 0,\quad\quad x\leq0; \end{aligned}\right. \\ F(x\leq 1)=1-e^{-\frac{1}{4}} \\ F(x> 1)= 1-F(x\leq 1)=e^{-\frac{1}{4}} f(x)=⎩⎨⎧41e−4x,x>0;0,x≤0;F(x)=⎩⎨⎧1−41e−4x,x>0;0,x≤0;F(x≤1)=1−e−41F(x>1)=1−F(x≤1)=e−41

X	-200	100
P(X)	1−e−141-e^{-\frac{1}{4}}1−e−41	e−14e^{-\frac{1}{4}}e−41

E(X)=100∗e−14−200∗(1−e−14)=300∗e−14−200=33.64E(X)=100*e^{-\frac{1}{4}}-200*(1-e^{-\frac{1}{4}})=300*e^{-\frac{1}{4}}-200=33.64E(X)=100∗e−41−200∗(1−e−41)=300∗e−41−200=33.64

23.

（1）
E(X1+X2+X3+X4+X5)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)+E(X5)=200+240+180+260+320=1200D(X1+X2+X3+X4+X5)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+D(X4)+D(X5)=225+240+225+265+270=1225=352E(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)+E(X_5)=200+240+180+260+320=1200\\\\\\ D(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)=D(X_1)+D(X_2)+D(X_3)+D(X_4)+D(X_5)=225+240+225+265+270=1225=35^2 E(X1+X2+X3+X4+X5)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)+E(X5)=200+240+180+260+320=1200D(X1+X2+X3+X4+X5)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+D(X4)+D(X5)=225+240+225+265+270=1225=352
（2）

(X1+X2+X3+X4+X5)∼N(1200,35)(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)\sim N(1200,35)(X1+X2+X3+X4+X5)∼N(1200,35)

P(X1+X2+X3+X4+X5≤n)>0.99⇒P(Y≤n)=P(Y−120035≤n−120035)=ϕ(n−120035)>0.99⇒n=1282P(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5\leq n)>0.99 \Rightarrow P(Y\leq n)=P(\frac{Y-1200}{35}\leq\frac{n-1200}{35})=\phi(\frac{n-1200}{35})>0.99 \Rightarrow n=1282P(X1+X2+X3+X4+X5≤n)>0.99⇒P(Y≤n)=P(35Y−1200≤35n−1200)=ϕ(35n−1200)>0.99⇒n=1282

即至少存储1282千克该产品。

36.

由题意已知μ=7300,σ2=700\mu=7300,\sigma^2=700μ=7300,σ2=700

P(∣X−μ∣<ε)=1−P(∣X−μ∣≥ε)=1−P(μ−ε≤X≤μ+ε)=1−σ2ε2=1−70021002=89P(|X-\mu|<\varepsilon)=1-P(|X-\mu|\geq\varepsilon)=1-P(\mu-\varepsilon\leq X\leq\mu+\varepsilon)=1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}=1-\frac{700}{2100^2}=\frac{8}{9}P(∣X−μ∣<ε)=1−P(∣X−μ∣≥ε)=1−P(μ−ε≤X≤μ+ε)=1−ε2σ2=1−21002700=98

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